Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

3.1. GLEICHHEIT VON MENGEN UND KLASSEN 21Die Gleichheit von Klassen bzw. Klassen und Mengen wird als Umfangsgleichheitdefiniert:A = B : ↔ ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B),A = b : ↔ ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ b),a = B : ↔ ∀x(x ∈ a ↔ x ∈ B),und in ähnlicher Weise (da Elemente stets Mengen sein sollen):A ∈ B : ↔ ∃y(y = A ∧ y ∈ B),A ∈ b : ↔ ∃y(y = A ∧ y ∈ b).Somit sind nun die Grundprädikate = und ∈ für sowohl Mengen wie auch Klassendefiniert.Wenn eine Klasse dieselben Elemente wie eine Menge enthält, so sind nachunserer Definition beide gleich, und genau in diesem Fall werden wir eine Klasseeine Menge nennen:Mg(A) :↔ ∃x(x = A)Mg(A) ↔ A ∈ V,V := {x | x = x}A ist eine Menge, somit gilt alsowobeiKlasse aller Mengen, Allklasse, Universum.Klassen, die keine Mengen sind, nennt man auch echte Klassen.Aus diesen Definitionen erhalten wir:Lemma(i) Jede Menge ist eine Klasse: a = {x | x ∈ a},(ii) Gilt eine Eigenschaft für alle Klassen, so insbesondere auchfür alle Mengen: Falls ϕ(A,B,...), so auch ϕ(a,b,...) □.Definition/0 := {x | x ≠ x} leere KlasseV := {x | x = x}Klasse aller MengenA ⊆ B :↔ ∀x(x ∈ A → x ∈ B) InklusionA ⊂ B :↔ A ⊆ B ∧ A ≠ B echte Inklusion