Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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2.5. ÜBERBLICK ÜBER VERSCHIEDENE AXIOMENSYSTEME 19Neben der Entscheidung, welchen existentiellen Wert man den Klassen einräumensoll, bleibt als Hauptproblem die Frage: welche Mengen existieren - bzw.:(i) welche Eigenschaften definieren Mengen - oder(ii) (wenn wir ein allgemeines Komprehensionsprinzip für Klassen zugrundelegen): welche Klassen führen zu Mengen?Grundlegend werden folgende Vorstellungen sein:• Es gibt Mengen und Klassen; ihre Gleichheit wird durch das Extensionalitätsprinzipbestimmt: Mengen bzw. Klassen sind identisch, wenn sie vomselben Umfang sind, d. h. dieselben Elemente enthalten.• Elemente von Klassen und Mengen sind wieder Mengen; echte Klassen(wie die RUSSELLsche Klasse) sind dagegen niemals Elemente - weder vonMengen noch von anderen Klassen.• Komprehensionsprinzip: Jeder Eigenschaft E(x) von Mengen x entsprichtdie Klasse {x | E(x)} aller Mengen x mit der Eigenschaft E(x),• insbesondere ist jede Menge a eine Klasse (nämlich: a = {x | x ∈ a}),• umgekehrt ist aber nicht jede Klasse eine Menge, sondern nur diejenigenKlassen, die nicht “zu groß” sind, sind Mengen (limitation of size).Klassen sind somit nach dem Komprehensionsprinzip (nahezu) unbeschränkt bildbar,Mengen existieren (als spezielle Klassen) nur nach Maßgabe einzelner Axiome.Literatur zu diesem KapitelBERNAYS, P. Axiomatic Set Theory. Amsterdam 1958FELGNER, U. (Herausgeber) Mengenlehre. Darmstadt 1979FRAENKEL, A.- BAR HILLEL, Y. - LÉVY, A. Foundations of Set Theory.Amsterdam 1973FRAENKEL, A.A. Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre.Math Ann 86 (1922), 230 - 237, auch in: FELGNER [1979]SKOLEM, T. Einige Bemerkungen zur axiom. Begründung der Mengenlehre.Kongreß Helsingfors 1922, auch in FELGNER [1979].
20Kapitel 3Extensionalität und Aussonderung3.1 Gleichheit von Mengen und KlassenMengen sind allein durch ihre Elemente bestimmt, unabhängig von deren Definitionund Reihenfolge:Extensionalitätsaxiom (Ext) ∀x(x ∈ a ↔ x ∈ b) → a = b.Aus den logischen Axiomen über die Gleichheit folgt die Umkehrung, es gilt dannalso:extensionale Gleichheit: ∀x(x ∈ a ↔ x ∈ b) ↔ a = b.Somit könnte man im Prinzip auf die Gleichheit als logisches Grundsymbol verzichtenund sie mittels der Elementbeziehung definieren. - Denkbar wäre aucheine Definition durchintensionale (Leibniz-)Gleichheit: ∀x(a ∈ x ↔ b ∈ x) ↔ a = b.Diese Äquivalenz wird später einfach beweisbar sein (mit Existenz der Einer-Menge).Mengen ohne Elemente bezeichnet man auch als Urelemente; aus dem Extensionalitätsaxiomfolgt, daß es höchstens eine solche Menge gibt, die leere Menge.Für eine alternative Mengenlehre, die weitere Urelemente zulassen soll, muß manalso das Extensionalitätsaxiom abändern.
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20Kapitel 3Extensionalität und Aussonderung3.1 Gleichheit von Mengen und KlassenMengen sind allein durch ihre Elemente bestimmt, unabhängig von deren Definitionund Reihenfolge:Extensionalitätsaxiom (Ext) ∀x(x ∈ a ↔ x ∈ b) → a = b.Aus den logischen Axiomen über die Gleichheit folgt die Umkehrung, es gilt dannalso:extensionale Gleichheit: ∀x(x ∈ a ↔ x ∈ b) ↔ a = b.Somit könnte man im Prinzip auf die Gleichheit als logisches Grundsymbol verzichtenund sie mittels der Elementbeziehung definieren. - Denkbar wäre aucheine Definition durchintensionale (Leibniz-)Gleichheit: ∀x(a ∈ x ↔ b ∈ x) ↔ a = b.Diese Äquivalenz wird später einfach beweisbar sein (mit Existenz der Einer-Menge).Mengen ohne Elemente bezeichnet man auch als Urelemente; aus dem Extensionalitätsaxiomfolgt, daß es höchstens eine solche Menge gibt, die leere Menge.Für eine alternative <strong>Mengenlehre</strong>, die weitere Urelemente zulassen soll, muß manalso das Extensionalitätsaxiom abändern.
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