Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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2.4. VARIABLE FÜR KLASSEN 172.4 Variable für KlassenSchließlich noch ein weiterer Schritt: Um nicht immer über die Klassenterme{x | ϕ(x,...)} durch Angabe von Formeln sprechen zu müssen, werden wir VariableA,B,... für Klassenterme benutzen! Damit nähern wir uns einer Sprache 2.Stufe, in welcher neben den Variablen für Mengen (Kleinbuchstaben) auch Variablefür Klassen (Großbuchstaben) auftreten. Streng genommen werden hier keineformalen Klassenvariable eingeführt, sondern Metavariable für Klassenterme.Das bedeutet, daß eine Aussage der Formes gibt ein A mit . . . A . . . B. . .als Behauptung zu lesen ist, für einen vorgegebenen Klassenterm B einen KlassentermA konkret (d. h. durch eine Formel) anzugeben, der die gewünschte Eigenschaftbesitzt; ebenso bedeutet eine universelle Aussage der Formfür alle A . . . A . . .daß sie für alle (konkret definierbaren) Klassenterme A gilt.Diese Unterscheidungen werden sich allerdings nur selten bemerkbar machen,sie treten z. B. auf bei der Einführung von Ordnungen und Wohlordnungen in 1.1:Die verschiedenen Definitionen von Ordnungen auf einer Menge A enthalten nurGesetze über die Elemente von A (Eigenschaften 1. Stufe im Sinne der mathematischenLogik), sie können somit - wie durch die Wahl des Großbuchstabens Abereits angedeutet - direkt für Klassen A übernommen werden. Dagegen besagtdie Minimumsbedingung für Wohlordnungen, daß jede nicht-leere Teilmenge einminimales Element besitzt. Im Falle einer Wohlordnung auf einer Klasse A werdenwir eine zusätzliche Bedingung hinzufügen, aus welcher folgt, daß die Minimalitätsbedingungsich von Mengen auf beliebige definierbare Klassen verstärkenläßt. Wenn man jedoch die Minimalitätsbedingung für alle Teilklassen von A fordernwill, so kann man dies nur in einer entsprechenden Sprache 2. Stufe formulieren.Es gibt nun allerdings Axiomensysteme der Mengenlehre mit freien und möglicherweiseauch gebundenen Klassenvariable (also in einer Sprache 2. Stufe mitformalen Variablen wie den Mengenvariablen), in denen Klassen eine stärkereRolle spielen:
2.5. ÜBERBLICK ÜBER VERSCHIEDENE AXIOMENSYSTEME 182.5 Überblick über verschiedene AxiomensystemeDie Axiomensysteme der Mengenlehre unterscheiden sich weniger in dem jeweilszugelassenen Bereich von Mengen als in dem Status, den sie den Klasseneinräumen:• ohne Klassen:das Axiomensystem ZF von ZERMELO-FRAENKEL in der (engeren) ZF-Sprache• mit eliminierbaren Klassen (“virtuelle Klassen” (QUINE)):das Axiomensystem ZF von ZERMELO-FRAENKEL in der erweiterten ZF-Sprache (welches wir hier zugrunde legen werden)• mit freien Klassenvariablen:das Axiomensystem von BERNAYS 1958• mit freien und gebundenen Klassenvariablen, aber nur prädikativen Klassen:das Axiomensystem NBG (von NEUMANN-GÖDEL-BERNAYS)) mit demKomprehensionsaxiom in der Form∃Y ∀x(x ∈ Y ↔ ϕ(x,...,A,...)).Hier stehen A,B,...,X,Y,... für Klassen, x,y,... weiterhin für Mengen, undϕ(x,...) ist eine Eigenschaft von Mengen (möglicherweise mit Klassen alsParametern), in welcher aber nur über Mengen quantifiziert werden darf -prädikative Form.• Klassen, ernst genommen (imprädikativ):das Axiomensystem QM von QUINE-MORSE mit dem Komprehensionsaxiomwie oben, aber jetzt werden auch Formeln zugelassen, die Quantifikationenüber Klassen enthalten; in diesem System lassen sich mehr Aussagenüber Mengen beweisen als in NBG!• neben Klassen und Mengen auch noch Halbmengen:die alternative Mengenlehre von VOPENKA (VOPENKA-HAJEK 1972).
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2.5. ÜBERBLICK ÜBER VERSCHIEDENE AXIOMENSYSTEME 182.5 Überblick über verschiedene AxiomensystemeDie Axiomensysteme der <strong>Mengenlehre</strong> unterscheiden sich weniger in dem jeweilszugelassenen Bereich von Mengen als in dem Status, den sie den Klasseneinräumen:• ohne Klassen:das Axiomensystem ZF von ZERMELO-FRAENKEL in der (engeren) ZF-Sprache• mit eliminierbaren Klassen (“virtuelle Klassen” (QUINE)):das Axiomensystem ZF von ZERMELO-FRAENKEL in der erweiterten ZF-Sprache (welches wir hier zugrunde legen werden)• mit freien Klassenvariablen:das Axiomensystem von BERNAYS 1958• mit freien und gebundenen Klassenvariablen, aber nur prädikativen Klassen:das Axiomensystem NBG (von NEUMANN-GÖDEL-BERNAYS)) mit demKomprehensionsaxiom in der Form∃Y ∀x(x ∈ Y ↔ ϕ(x,...,A,...)).Hier stehen A,B,...,X,Y,... für Klassen, x,y,... weiterhin für Mengen, undϕ(x,...) ist eine Eigenschaft von Mengen (möglicherweise mit Klassen alsParametern), in welcher aber nur über Mengen quantifiziert werden darf -prädikative Form.• Klassen, ernst genommen (imprädikativ):das Axiomensystem QM von QUINE-MORSE mit dem Komprehensionsaxiomwie oben, aber jetzt werden auch Formeln zugelassen, die Quantifikationenüber Klassen enthalten; in diesem System lassen sich mehr Aussagenüber Mengen beweisen als in NBG!• neben Klassen und Mengen auch noch Halbmengen:die alternative <strong>Mengenlehre</strong> von VOPENKA (VOPENKA-HAJEK 1972).
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