Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

2.4. VARIABLE FÜR KLASSEN 172.4 Variable für KlassenSchließlich noch ein weiterer Schritt: Um nicht immer über die Klassenterme{x | ϕ(x,...)} durch Angabe von Formeln sprechen zu müssen, werden wir VariableA,B,... für Klassenterme benutzen! Damit nähern wir uns einer Sprache 2.Stufe, in welcher neben den Variablen für Mengen (Kleinbuchstaben) auch Variablefür Klassen (Großbuchstaben) auftreten. Streng genommen werden hier keineformalen Klassenvariable eingeführt, sondern Metavariable für Klassenterme.Das bedeutet, daß eine Aussage der Formes gibt ein A mit . . . A . . . B. . .als Behauptung zu lesen ist, für einen vorgegebenen Klassenterm B einen KlassentermA konkret (d. h. durch eine Formel) anzugeben, der die gewünschte Eigenschaftbesitzt; ebenso bedeutet eine universelle Aussage der Formfür alle A . . . A . . .daß sie für alle (konkret definierbaren) Klassenterme A gilt.Diese Unterscheidungen werden sich allerdings nur selten bemerkbar machen,sie treten z. B. auf bei der Einführung von Ordnungen und Wohlordnungen in 1.1:Die verschiedenen Definitionen von Ordnungen auf einer Menge A enthalten nurGesetze über die Elemente von A (Eigenschaften 1. Stufe im Sinne der mathematischenLogik), sie können somit - wie durch die Wahl des Großbuchstabens Abereits angedeutet - direkt für Klassen A übernommen werden. Dagegen besagtdie Minimumsbedingung für Wohlordnungen, daß jede nicht-leere Teilmenge einminimales Element besitzt. Im Falle einer Wohlordnung auf einer Klasse A werdenwir eine zusätzliche Bedingung hinzufügen, aus welcher folgt, daß die Minimalitätsbedingungsich von Mengen auf beliebige definierbare Klassen verstärkenläßt. Wenn man jedoch die Minimalitätsbedingung für alle Teilklassen von A fordernwill, so kann man dies nur in einer entsprechenden Sprache 2. Stufe formulieren.Es gibt nun allerdings Axiomensysteme der Mengenlehre mit freien und möglicherweiseauch gebundenen Klassenvariable (also in einer Sprache 2. Stufe mitformalen Variablen wie den Mengenvariablen), in denen Klassen eine stärkereRolle spielen: