Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

2.3. DIE MENGENTHEORETISCHE SPRACHE MIT KLASSENTERMEN 15• es gibt eine “leere” Menge (setze für ϕ(x) ein: x ≠ x und für a irgendeineMenge).Das Aussonderungsaxiom ist nachweisbar widerspruchsfrei - es ist bereits wahrin einem Modell, welches nur die leere Menge enthält. Um es darüber hinaus anwendenzu können, müssen wir die Menge a, aus welcher mittels der Eigenschaftϕ(x) eine Teilmenge ausgesondert wird, bereits haben - weitere Axiome sind erforderlich!Im folgenden werden wir - wie jetzt allgemein üblich - der Entwicklung derMengenlehre nach ZERMELO folgen, dabei aber auch den Klassenbegriff benutzen,weil sich damit die Axiome von ZF leicht in der Formbestimmte Klassen (und zwar “nicht zu große”) sind Mengenbequem ausdrücken lassen.2.3 Die mengentheoretische Sprache mit KlassentermenWie schon angedeutet, benötigen wir für die ZF-Sprache nur die ∈-Beziehung alseinziges nicht-logisches Prädikat. Als Variable für Mengen benutzen wir Kleinbuchstaben,und zwar meistens a,b,c,... für freie Variable und x,y,z,... (u. U.mit Indizes) für gebundene Variable, werden aber die Unterscheidung möglicherweisenicht immer genau einhalten. Die damit gebildete Sprache L ZF werden wirerweitern um die Hinzunahme von definierbaren Klassen (auch Klassenterme genannt){x | ϕ(x)}welche in Formeln jedoch nur in der Kombination a ∈ {x | ϕ(x)} benötigt werden,so daß Formeln wie folgt gebildet werden:(F1) Sind a,b Mengenvariable, so sind a = b und a ∈ b Formeln (Primformeln,atomare Formeln).(F2) Ist ϕ eine Formel, so auch ¬ϕ.(F3) Sind ϕ und ψ Formeln, so auch (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ) und (ϕ ↔ ψ).(F4) Ist ϕ(a) eine Formel, in welcher die Variable x nicht vorkommt, so sind auch∀xϕ(x) und ∃xϕ(x) Formeln.