Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

2.2. AUSWEGE AUS DEN ANTINOMIEN 14om schränkt die Mengenbildung jedoch stark ein; die Idee eines stufenweisenAufbaus der Mengenlehre läßt sich jedoch auch in der ZF-Mengenlehrewieder finden (von NEUMANNsche Hierarchie Kap. 8).b) Unterscheidung zwischen Mengen und Klassen (von NEUMANN, GÖDEL,BERNAYS):Man läßt eine (mehr oder weniger beschränkte) Komprehension von Mengenzu, das Ergebnis ist dann aber nicht notwendig wieder eine Menge,sondern zunächst eine Klasse {x | ϕ(x)}. So kann man bilden:die RUSSELLsche KlasseR = {x | x ∉ x},die Klasse aller MengenV = {x | x = x},die Klasse aller Ordinalzahlen, Kardinalzahlen, usw.Das Auftreten von Antinomien wird nun dadurch vermieden, daß Klassennicht notwendig wieder Mengen sind; z. B. kann R in die Eigenschaft, welcheR definiert, nur dann eingesetzt werden, wenn R eine Menge x ist, und dadiese Annahme zum Widerspruch führt, kann R keine Menge sein, sondernnur eine Klasse (echte Klasse oder Unmenge). Welche Klassen zugleichauch Mengen sind, versucht man durch Axiome festzulegen, wobei man• einerseits möglichst viele Klassen als Mengen (und damit wieder alsElemente von Mengen und Klassen) erlauben möchte,• andererseits aber nicht so viele, daß es zu einem Widerspruch kommt.c) ZERMELOsches Aussonderungsaxiom:Das Komprehensionsaxiom wird eingeschränkt auf die Bildung von Teilmengeneiner bereits gegebenen Menge a:Aussonderungsaxiom: ∃y∀x(x ∈ y ↔ x ∈ a ∧ ϕ(x))Versucht man erneut, die RUSSELLsche Antinomie abzuleiten, so erhältman die Existenz einer Menge r mitr ∈ r ← r ∈ a ∧ r ∉ r, also• es gibt keine “Menge aller Mengen” (für a eingesetzt, erhielte manden RUSSELLschen Widerspruch),