Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

iVorwortDieses Skriptum ist gedacht für die Hörer meiner Vorlesung im Sommersemester2004; es soll weder ein Lehrbuch noch den Besuch der Vorlesung ersetzen,sondern das Mitschreiben erleichtern und zum Nachschlagen der wichtigsten Definitionenund Ergebnisse dienen.Im ersten Teil wird die ZERMELO-FRAENKELsche Mengenlehre ZF als axiomatischeTheorie entwickelt. Hier werden die wichtigsten mengentheoretischenBegriffsbildungen eingeführt, wie sie in den verschiedenen Gebieten der Mathematikbenötigt werden. Dabei gehen wir vom zentralen Begriff der Wohlordnungaus, die im anschließenden zweiten Teil zu den Prinzipien der Induktion und Rekursionführt (welche leicht für den Fall fundierter Relationen verallgemeinertwerden können). Mit dem Auswahlaxiom im Teil III wird wieder eine enge Verknüpfungmit einzelnen mathematischen Gebieten angedeutet, es spielt aber aucheine entscheidende Rolle für die Theorie der Kardinalzahlen (Teil IV). Das Kontinuumsproblemist der Ausgangspunkt für die Entwicklung der Deskriptiven Mengenlehre,hier können nur die einfachsten Ergebnisse aufgeführt werden. Auch dieanschließenden Teile geben nur einen knappen und unvollkommenen Einblick inweitere mengentheoretische Themen:• Axiomatisierungen der Mengenlehre mittels Reflexionsprinzipien, die sichbesonders flexible zu Abschwächungen oder auch Verstärkung der ZF-Mengenlehreeinsetzen lassen und auch besonders gut geeignet sind, Modelleder Mengenlehre zu charakterisieren, welche mittels einer kumulativenHierarchie aufgebaut sind,• Präzisierung des Begriffes der definierbaren Menge und damit eine Charakterisierunginnerer Modelle; die Hierarchie der konstruktiblen Mengen alsModell der Mengenlehre, in welcher das Auswahlaxiom und die Kontinuumshypotheseerfüllt sind,• einige grundlegende Ergebnisse aus der Theorie der großen Kardinalzahlen.Heidelberg, im Juli 2004