Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

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175Kapitel 19Homogene Mengen19.1 Das Schubfachprinzipbesagt in seiner einfachsten Form:Verteilt man n Elemente in m < n-viele Schubladen, so muß eine der Schubladenmindestens 2 Elemente enthalten.Die Verallgemeinerung auf unendliche Mengen lautet:Ist eine unendliche Menge a zerlegt in endlich-viele Mengen, so muß wenigstenseine dieser Mengen unendlich sein:a = a 0 ˙∪... ˙∪a k unendlich → ∃i ≤ k (a i unendlich) .Noch etwas allgemeiner erhalten wir dasDas Schubfachprinzip für reguläre Kardinalzahlenreg(κ) ∧ λ < κ ∧ κ = ⋃a ξ → ∃x ⊆ κ ∃ξ < λ (|x| = κ ∧ x ⊆ a ξ )ξ
19.1. DAS SCHUBFACHPRINZIP 176Eine Zerlegung [a] n = a 0 ˙∪... ˙∪a k in k+1 Teile kann man auch als eine Abbildungf : [a] n → {0,...,k} auffassen. Daher stellen die folgenden Pfeilrelationeneine Verallgemeinerung dar, wobei n < ω und α eine Kardinalzahl sei:κ −→ (α) n γ :↔ ∀ f ( f : [κ] n → γ→ ∃x ⊆ κ (|x| = α ∧ ∀u,v ∈ [x] n f (u) = f (v))),d. h. jede Zerlegung der n-elementigen Teilmengen von κ besitzt eine Teilmengex ⊆ κ von der Mächtigkeit α, so daß f auf den n-elementigen Teilmengenvon x konstant ist (d. h. daß alle n-elementigen Teilmengen von x in derselbenTeilmenge liegen). Eine derartige Menge x nennt man auch homogen (oder nichtunterscheidbar)für f . Beachte, daß die obige Relation erhalten bleibt, wenn mandie Zahlen auf der linken Seite vom Pfeil vergrößert bzw. die Werte auf der rechtenSeite verkleinert. Im wichtigsten Fall γ = 2 läßt man den unteren Index häufigweg.Der Satz von RAMSEY besagt mit dieser Bezeichnungsweise:ω −→ (ω) n m für alle n,m < ωZur Verallgemeinerung dieses Satzes definieren wir die Beth-Funktion durchℶ 0 (α) = α, ℶ β+1 = 2 ℶ β (α) , ℶ λ (α) = ⋃ξ ω; diese Zahlen sind (stark) unerreichbar, die Menge {λ < κ | λ unerreichbar}der kleineren unerreichbaren Zahlen ist stationär in κ, ebenso die Menge der kleinerenMAHLOschen Zahlen vom Grad < κ, usw. Zugleich haben diese Zahlenweitere interessante Charakterisierungen (schwach kompakt, Baum-Eigenschaft,Π 1 1 -unbeschreibbar)1 .10, § 21 s. z. B. DRAKE, F.R. Set Theory. An Introduction to Large Cardinals Amsterdam 1974, Ch.
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INHALTSVERZEICHNISiiInhaltsverzeich
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INHALTSVERZEICHNISivIV Die Größe
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INHALTSVERZEICHNISvi18.3 Ideale und
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2VorbemerkungDie Mengenlehre hat f
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4Kapitel 1Ordnungen und Wohlordnung
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1.1. ORDNUNGEN 6aus einer irreflexi
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1.2. DEFINITION DER ORDINALZAHLEN 8
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1.4. DIE ORDNUNG DER ORDINALZAHLEN
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12Kapitel 2Mengen und Klassen2.1 Di
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2.2. AUSWEGE AUS DEN ANTINOMIEN 14o
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2.3. DIE MENGENTHEORETISCHE SPRACHE
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2.5. ÜBERBLICK ÜBER VERSCHIEDENE
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20Kapitel 3Extensionalität und Aus
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3.2. EIGENSCHAFTEN DER INKLUSION 22
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24Kapitel 4Relationen und Funktione
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4.2. RELATIONEN 264.2 RelationenMit
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4.3. FUNKTIONEN 28In diesem Fall gi
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5.1. VEREINIGUNG, DURCHSCHNITT UND
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5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
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5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
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5.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ZF-AXIOME
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38Kapitel 6Induktion und RekursionW
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6.2. MINIMUMSPRINZIP 406.2 Minimums
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6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUN
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6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHL
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6.7. MINIMUMSPRINZIP, TRANSFINITE I
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7.2. MONOTONIE-GESETZE 48Bevor wir
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7.2. MONOTONIE-GESETZE 50Beweis: Ze
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7.3. VERALLGEMEINERTE STETIGKEIT VO
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7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
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7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
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8.1. MENGENINDUKTION 58V α sind ni
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8.2. MENGEN VON RANG 60so ist N = {
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8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 62Refle
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64Kapitel 9Die Rolle des Unendlichk
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9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle
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9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN RE
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70Teil IIIMengen auswählen
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10.1. MENGENTHEORETISCH ÄQUIVALENT
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10.3. MAXIMUMSPRINZIPIEN VON ZORN U
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10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
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82Teil IVDie Größe der Mengen
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11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
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11.3. SATZ VON CANTOR-SCHRÖDER-BER
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11.5. SATZ VON CANTOR 9011.5 Satz v
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11.7. KARDINALZAHLEN 92BemerkungSet
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11.8. OPERATIONEN AUF DEN KARDINALZ
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11.9. SATZ VON HESSENBERG 96Für α
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12.2. DIE CANTORSCHE KONTINUUMSHYPO
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12.3. EINIGE TOPOLOGISCHE BEGRIFFE
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12.4. SATZ ÜBER PERFEKTE MENGEN 10
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12.5. DER SATZ VON CANTOR-BENDIXSON
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12.6. DIE BORELSCHEN MENGEN 10612.6
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12.7. VERSPIELTE MENGEN 10812.7 Ver
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110Kapitel 13Potenzen von Kardinalz
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13.1. UNENDLICHE SUMMEN UND PRODUKT
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13.3. EINGESCHRÄNKTE POTENZMENGENO
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13.5. EIGENSCHAFTEN REGULÄRER KARD
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13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
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13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
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Seite 147 und 148: 140Kapitel 16Innere Modelle16.1 Def
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