Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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18.5. MESSBARE ZAHLEN 173Bemerkungen und Definitionen1. Ist m ein Maß auf κ, so ist• I m := {x ⊆ κ | m(x) = 0} ein ω 1 -vollständiges Ideal auf κ, welcheskein Hauptideal ist,• F m := {x ⊆ κ | m(x) = 1} ein ω 1 -vollständiger Filter auf κ, welcherkein Hauptfilter ist.2. Ein 2-wertiges Maß ist ein Maß, welches nur die Werte 0 und 1 annimmt.In diesem Fall ist der entsprechende Filter F m ein Ultrafilter (und I m einPrimideal).Ist umgekehrt U ein ω 1 -vollständiger Filter auf κ, welcher kein Hauptfilterist, und definiert man eine Abbildung m : P(κ) → {0,1} durch{1 falls x ∈ U,m(x) =0 sonst,so erhält man ein 2-wertiges Maß m auf κ.3. Ein Filter, welcher kein Hauptfilter ist, heißt freier Filter.4. κ sei eine überabzählbare Kardinalzahl. Dann heißtκ reell-wertig meßbar : ↔ ∃m(m κ-additives Maß auf κ)κ meßbar : ↔ ∃m(m κ-additives 2-wertiges Maß auf κ)↔ ∃U(U κ-vollständiger freier Ultrafilter auf κ)Da man (mit Hilfe des Auswahlaxioms) den FRÉCHET-Filter der co-endlichenMengen von natürlichen Zahlen zu einem Ultrafilter auf ω erweitern kann, derdann kein Hauptfilter sein kann, erfüllt auch ω die Bedingung, die an eine meßbareKardinalzahl gestellt werden kann, wird aber i. a. nicht dazugerechnet, da dieüberabzählbaren meßbaren Zahlen zu den großen Kardinalzahlen gehören, derenExistenz man in ZFC nicht beweisen kann. Tatsächlich gilt:• jede reell-wertig meßbare Kardinalzahl κ ist schwach unerreichbar,• jede meßbare Kardinalzahl κ ist (stark) unerreichbar (aber nicht umgekehrt),
18.5. MESSBARE ZAHLEN 174• ist κ reell-wertig meßbar, so ist κ meßbar oder κ ≤ 2 ℵ 0(ist also κ reell-wertig meßbar, aber nicht meßbar, so muß 2 ℵ 0 sehr großsein).Die kleinste unerreichbare Zahl ist noch nicht meßbar, tatsächlich liegen untereiner unerreichbaren Zahl κ κ-viele kleinere unerreichbare Zahlen, und währenddie Existenz einer unerreichbaren Zahl noch mit der Annahme V = L verträglichist, widerspricht die Existenz einer meßbaren Zahl diesem Axiom, hat dafür aberweitere Konsequenzen für die projektive Hierarchie:SatzIn der Theorie ZFC + MC : “es existiert eine meßbare Kardinalzahl” ist beweisbar:• Σ 1 2-Mengen haben die Perfekte-Mengen-Eigenschaft (P) und erfüllen damitauch die Kontinuumshypothese,• Σ 1 2 - und Π1 2-Mengen haben die BAIRE-Eigenschaft und sind LEBESGUEmeßbar.Ist κ eine RAMSEY-Zahl, also κ → κ 2 2 , so gilt das MAHLOsche Prinzip für V κ(also unterhalb von κ): κ ist eine MAHLOsche Zahl vom Grad κ, es gibt unterhalbvon κ unbeschränkt-viele MAHLOsche Zahlen α vom Grad α, . . .
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18.5. MESSBARE ZAHLEN 173Bemerkungen und Definitionen1. Ist m ein Maß auf κ, so ist• I m := {x ⊆ κ | m(x) = 0} ein ω 1 -vollständiges Ideal auf κ, welcheskein Hauptideal ist,• F m := {x ⊆ κ | m(x) = 1} ein ω 1 -vollständiger Filter auf κ, welcherkein Hauptfilter ist.2. Ein 2-wertiges Maß ist ein Maß, welches nur die Werte 0 und 1 annimmt.In diesem Fall ist der entsprechende Filter F m ein Ultrafilter (und I m einPrimideal).Ist umgekehrt U ein ω 1 -vollständiger Filter auf κ, welcher kein Hauptfilterist, und definiert man eine Abbildung m : P(κ) → {0,1} durch{1 falls x ∈ U,m(x) =0 sonst,so erhält man ein 2-wertiges Maß m auf κ.3. Ein Filter, welcher kein Hauptfilter ist, heißt freier Filter.4. κ sei eine überabzählbare Kardinalzahl. Dann heißtκ reell-wertig meßbar : ↔ ∃m(m κ-additives Maß auf κ)κ meßbar : ↔ ∃m(m κ-additives 2-wertiges Maß auf κ)↔ ∃U(U κ-vollständiger freier Ultrafilter auf κ)Da man (mit Hilfe des Auswahlaxioms) den FRÉCHET-Filter der co-endlichenMengen von natürlichen Zahlen zu einem Ultrafilter auf ω erweitern kann, derdann kein Hauptfilter sein kann, erfüllt auch ω die Bedingung, die an eine meßbareKardinalzahl gestellt werden kann, wird aber i. a. nicht dazugerechnet, da dieüberabzählbaren meßbaren Zahlen zu den großen Kardinalzahlen gehören, derenExistenz man in ZFC nicht beweisen kann. Tatsächlich gilt:• jede reell-wertig meßbare Kardinalzahl κ ist schwach unerreichbar,• jede meßbare Kardinalzahl κ ist (stark) unerreichbar (aber nicht umgekehrt),
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