Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

1.4. DIE ORDNUNG DER ORDINALZAHLEN 11Beweis von (i):α ∉ αα ∈ β ∈ γ → α ∈ γα ∈ β ∨ α = β ∨ β ∈ αnach dem Fundierungsaxiom (oder wegen f und(α))wegen trans(γ)kann man wie folgt zeigen:Sei δ := α ∩ β das Minimum der beiden Ordinalzahlen. Dann ist trans(δ)und δ ⊆ α,β, also nach nach dem vorangegegangen Satz: δ = α ∨ δ ∈ α undebenso δ = β ∨ δ ∈ β, aber im Fall δ ∈ α ∧ δ ∈ β erhielten wir den Widerspruchδ ∈ δ! Somit ist die ∈-Beziehung auf den Ordinalzahlen eine lineare Ordnung.Sie ist ferner eine Wohlordnung, da für Mengen a von Ordinalzahlen die Minimalitätsbedingung/0 ≠ a → ∃α ∈ a α ∩ a = /0 nach unserer Vereinbarung (also demFundierungsaxiom) erfüllt ist.(ii) Angenommen, es gäbe eine Menge a aller Ordinalzahlen. Nach Satz 1.3(ii) ist a transitiv und nach der gerade bewiesenen Aussage (i) ist die ∈-Beziehungeine Wohlordnung auf a, also ist a selbst eine Ordinalzahl, somit a ∈ a nach Definitionvon a als Menge aller Ordinalzahlen, aber anderseits gilt a ∉ a für alleOrdinalzahlen a, Widerspruch! (Man könnte auch so argumentieren: die Menge aaller Ordinalzahlen wäre als Ordinalzahl die größte Ordinalzahl, dann kann abernicht a ∈ a sein!)□Die Antinomie von BURALI-FORTI (1897) war CANTOR übrigens bereitsschon 1895 bekannt. Man kann sie als Aussage lesen, daß es keine größte Ordinalzahlgibt und die Gesamtheit aller Ordinalzahlen so “groß” ist, daß sie sichnicht zu einer Menge zusammenfassen läßt. Das wäre an sich harmlos, wenn sichnicht herausgestellt hätte, daß auch andere Eigenschaften von Mengen zu “inconsistentenVielheiten” (CANTOR) führen, und man deshalb befürchten müßte,daß vielleicht an einer anderen Stelle der Theorie ein (womöglich bisher noch garnicht entdeckter) Widerspruch versteckt ist, der sich nicht so einfach hinweg interpretierenläßt. Wir wollen daher erst einmal innehalten, um uns den Grundlagender Mengenlehre zuzuwenden.