Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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18.5. MESSBARE ZAHLEN 171wendung des MAHLOschen Prinzips erhält man dann die Existenz stationär-vieler(schwach) Mahloscher Zahlen vom endlichen Grad n:Ma(0) : = {κ | reg(κ)} = RegMa(1) : = {κ | reg(κ) ∧ Reg ∩ κ stationär inκ}Ma(2) : = {κ | reg(κ) ∧ Ma(1) ∩ κ stationär inκ}Ma(3) : = {κ | reg(κ) ∧ Ma(2) ∩ κ stationär inκ}...Ersetzt man im MAHLOschen Prinzip die Eigenschaft regulär durch (stark)unerreichbar, so erhält man die Existenz der Mahloschen Zahlen als unerreichbareKardinalzahlen (während die obigen Zahlen nur schwach unerreichbar sind).Verstärkungen des obigen Prinzips erlauben es, den Prozeß fortzuführen und auchnoch zu diagonalisieren:MAHLOsche Zahlen κ vom Grad κ =hyper-MAHLOsche Zahlen vom Grad 0,hyper-hyper-MAHLOsche Zahlen,hyper-hyper. . . hyper-MAHLOsche Zahlen,κ-hyper-MAHLOsche Zahlen,. . .Es zeigt sich ein weiterer Ansatz, zu großen Kardinalzahlen zu kommen, indemman von den regulären Zahlen ausgeht und diese Klasse immer weiter “verdünnt”:“kleine” Zahlen werden nach und nach ausgesondert, so daß schließlich nur die“großen” Zahlen in “großen” Abständen übrigbleiben.18.5 Meßbare ZahlenWir haben bereits gesehen, das als Folge des Auswahlaxioms Mengen existieren,die nicht LEBESGUE-meßbar sind, wobei der Satz von VITALI zeigte, daß BA-NACH verallgemeinerte das Problem, indem er die Translationsinvarianz wegließund triviale Fälle durch die Forderung ersetzte, daß m({x}) = 0 ist für alle reellenZahlen x. Nach BANACH-KURATOWSKI 1929 gibt es aber auch hierfür keineLösung, wenn man die Kontinuumshypothese annimmt. Benutzt man die Translationinvarianz,so kann man das Maßproblem auf Mengen A ⊆ [0,1] beschränken,
18.5. MESSBARE ZAHLEN 172das Einheitsintervall durch eine beliebige Menge I ersetzen und das Maß dort auf1 normieren. Damit stellt sich die Frage, ob es eine nicht-leere Menge M gibt miteiner Maßabbildungm : P(M) → {x | x ∈ R ∧ x ≥ 0},die folgende Bedingungen erfüllt:(M1) m(M) = 1(M2) ∀x ∈ M m({x}) = 0normiertnicht-trivial(M3) ist (A i | i < ω) eine abzählbare Folge von Mengen ⊆ M, so istm( ⋃ i
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18.5. MESSBARE ZAHLEN 171wendung des MAHLOschen Prinzips erhält man dann die Existenz stationär-vieler(schwach) Mahloscher Zahlen vom endlichen Grad n:Ma(0) : = {κ | reg(κ)} = RegMa(1) : = {κ | reg(κ) ∧ Reg ∩ κ stationär inκ}Ma(2) : = {κ | reg(κ) ∧ Ma(1) ∩ κ stationär inκ}Ma(3) : = {κ | reg(κ) ∧ Ma(2) ∩ κ stationär inκ}...Ersetzt man im MAHLOschen Prinzip die Eigenschaft regulär durch (stark)unerreichbar, so erhält man die Existenz der Mahloschen Zahlen als unerreichbareKardinalzahlen (während die obigen Zahlen nur schwach unerreichbar sind).Verstärkungen des obigen Prinzips erlauben es, den Prozeß fortzuführen und auchnoch zu diagonalisieren:MAHLOsche Zahlen κ vom Grad κ =hyper-MAHLOsche Zahlen vom Grad 0,hyper-hyper-MAHLOsche Zahlen,hyper-hyper. . . hyper-MAHLOsche Zahlen,κ-hyper-MAHLOsche Zahlen,. . .Es zeigt sich ein weiterer Ansatz, zu großen Kardinalzahlen zu kommen, indemman von den regulären Zahlen ausgeht und diese Klasse immer weiter “verdünnt”:“kleine” Zahlen werden nach und nach ausgesondert, so daß schließlich nur die“großen” Zahlen in “großen” Abständen übrigbleiben.18.5 Meßbare ZahlenWir haben bereits gesehen, das als Folge des Auswahlaxioms Mengen existieren,die nicht LEBESGUE-meßbar sind, wobei der Satz von VITALI zeigte, daß BA-NACH verallgemeinerte das Problem, indem er die Translationsinvarianz wegließund triviale Fälle durch die Forderung ersetzte, daß m({x}) = 0 ist für alle reellenZahlen x. Nach BANACH-KURATOWSKI 1929 gibt es aber auch hierfür keineLösung, wenn man die Kontinuumshypothese annimmt. Benutzt man die Translationinvarianz,so kann man das Maßproblem auf Mengen A ⊆ [0,1] beschränken,
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