Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

18.3. IDEALE UND FILTER 1687. Für eine unendliche Kardinalzahl κ ist{x ⊆ κ | |x| < κ}ein Ideal auf κ, der zugehörige duale Filter heißt auch Kardinalzahlfilter aufκ.8. Unter den Anwendungen des Auswahlaxioms haben wir früher bereits dasBOOLEsche Primideal-Theorem BPI erwähnt, welches besagt, daß jederFilter zu einem Ultrafilter erweitert werden kann. Soweit nicht anders vermerkt,sind die Filter in den obigen Beispielen keine Ultrafilter, besitzenaber Erweiterungen zu freien Ultrafiltern.Für eine Kardinalzahl κ ist ein Filter F κ-vollständig gdw er unter Durchschnittenvon weniger als κ-vielen Elementen abgeschlossen ist:α < κ ∧ ∀ξ < α x ξ ∈ F → ⋂ξ ω regulär, s ⊆ κ stationär in κ und f : s → κ mit ∀α ∈ s f (α) < α.Dann existiert eine stationäre Teilmenge t ⊆ s, so daß f auf t konstant ist.Dieses Ergebnis gilt übrigens auch für Funktionen auf stationären Teilklassenvon On und erklärt die Bezeichnung “stationär”.