Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

18.2. GROSSE UNENDLICHE ZAHLEN 165Somit gilt:A club ↔ ∃F (N ft(F) ∧ A = W(F)),was allerdings eine Aussage in der Mengenlehre 2. Stufe ist, ebenso wie die Definition:A stationär: ↔ ∀F (N ft(F) → A ∩W(F) ≠ /0),die wir aber immerhin noch als Schema auffassen können, wie etwa etwa in derfolgenden Verstärkung des partiellen Reflexionsprinzips:σ On ∧ N ft(F) → ∃κ(F(κ) = κ ∧ σ κ ),welches ausdrückt, daß jede Eigenschaft σ, die für die Klasse aller Ordinalzahlengilt, sogar für eine stationäre Klasse von Ordinalzahlen gilt. Die entsprechendrelativierten Begriffe können wir im Rahmen von ZF definieren:Definitiona unbeschränkt in κ : ↔ a ⊆ κ ∧ ⋃ a = κ,a abgeschlossen in κ : ↔ ∀x ⊆ κ(x ⊆ a ∧ x ≠ /0 → ⋃ x ∈ κ ∪ {κ}),a club in κ : ↔ a abgeschlossen und unbeschränkt in κ,a stationär in κ : ↔ ∀x (x club in κ → x ∩ a ≠ /0).(Statt unbeschränkt haben wir früher confinal gesagt.) Der Durchschnitt von zweiclub-Mengen kann leer sein: {ℵ 2n | n < ω} und {ℵ 2n+1 | n < ω} sind beide clubin ℵ ω , haben aber leeren Durchschnitt. Dagegen gilt:LemmaEs sei κ eine Kardinalzahl mit c f (κ) > ω. Dann ist der Durchschnitt von zweiMengen, welche club in κ sind, wieder club in κ.Beweis: Sind a,b abgeschlossen in κ, so auch a ∩ b, während der Durchschnittunbeschränkter Mengen nicht wieder unbeschränkt, sondern sogar sogar leer seinkann. Es seien also nun a,b club in κ. Um die Unbeschränktheit von a ∩ b zuzeigen, sei α < κ. Dann wählt man eine aufsteigende Folge (γ n |n < ω) mit γ n < κundα < γ 0 ∧ γ 2n ∈ a ∧ γ 2n+1 ∈ b,