Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

18.2. GROSSE UNENDLICHE ZAHLEN 164κ ist groß ⇐⇒ κ hat hinsichtlich kleinerer Zahlen ähnliche Eigenschaften wieω gegenüber den natürlichen Zahlen.So gelangt man schnell zur Forderung, daß eine “große” Zahl eine Limeszahl,regulär, sogar unerreichbar sein soll und weitere Eigenschaften erfüllen soll, diewir später einführen werden (die RAMSEY-Eigenschaft, meßbar . . . ).Ein weiterer Ansatz geht von der Überlegung aus, daß On die größte Ordinal-(und Kardinal-) Zahl wäre, wenn es nur eine Menge wäre:κ ist groß ⇐⇒ κ hat ähnliche Eigenschaften wie On.Mit geeignet gewählten Eigenschaften gelangt man schnell zu den unerreichbarenKardinalzahlen oder - je nach Präzisierung - zu Widersprüchen! Mit Hilfe despartiellen Reflexionsprinzips erhalten für jede Aussage σ der ZF-Sprache:σ On → ∀α∃κ(α < κ ∧ σ κ ).Aus dem Beweis des Hierarchiesatzes 15.3.1 ergibt sich, daß es sogar sehrviele δ gibt, die eine Eigenschaft σ aller Ordinalzahlen reflektieren, und zwar soviele, daß jede Normalfunktion einen Fixpunkt besitzt, welcher die Eigenschaft σreflektiert.DefinitionLimespunkte von A : A ′ := {α > 0 | α = ∪(A ∩ α)},A ⊆ On unbeschränkt : ↔ ⋃ A = On,A ⊆ On abgeschlossen : ↔ ∀x ⊆ A(x ≠ /0 → ⋃ x ∈ A),A ⊆ On club : ↔ A abgeschlossen und unbeschränkt.(club steht als Abkürzung für closed unbounded). Offensichtlich gilt:LemmaEs sei A ⊆ On.(i) A ′ ist stets abgeschlossen; falls A unbeschränkt ist, so ist A ′ club.(ii) N ft(F) → W(F) club, und umgekehrt:(iii) Ist A club, so A=W(F) für eine Normalfunktion F (nämlich die monotoneAufzählung von A).□