Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

162Kapitel 18Große KardinalzahlenWann ist eine Kardinalzahl κ “groß”? Ist dann nicht κ + 1 noch “größer”?18.1 Große endliche ZahlenDieses Problem stellt sich natürlich schon bei den natürlichen Zahlen. Lange Zeitwar eine Zahl von SKEWES die größte in einem sinnvollen Beweis benutzte Zahl 1 ,abgelöst wurde sie kürzlich durch Grahams Zahl 2 (nach RONALD L. GRAHAM):sie ist eine obere Grenze für ein Problem der Ramsey-Theorie:In einem n-dimensionalen Hyperwürfel seien alle Punkte (Knoten)je paarweise durch eine Kante verbunden, so daß ein vollständigerGraph auf 2 n Knoten entsteht. Diese Kanten werden nun mit jeweilseiner von zwei Farben eingefärbt. Es ergibt sich die Frage, wie groß nsein muß, damit es immer mindestens einen gleichfarbigen vollständigenUntergraphen gibt, der aus 4 Knoten besteht, die in einer Ebeneliegen. Anders ausgedrückt: Ab welcher Dimension tritt notgedrungendie genannte Form von Ordnung auf? Das Problem wurde nochnicht gelöst. Graham und Rothschild (1971) haben gezeigt, daß nmindestens 6 ist, EXOO (2003) zeigte, daß n ≥ 11. Grahams Zahlist andererseits eine obere Grenze für dieses Problem, d. h. n < G 64 .1 http://mathworld.wolfram.com/SkewesNumber.html2 im folgenden zitiert nach http://de.wikipedia.org/wiki/Grahams Zahl