Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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17.7. RELATIVE KONSTRUKTIBILITÄT 159SKOLEM erhalten wir eine Menge b ⊆ L λ mit κ ∪ {a} ⊆ b ∧ |b| = κ, so daß bdieselben Formeln erfüllt wie L λ . Nach dem Kondensationslemma ist (b,∈) ∼ =(L β ,∈) für ein β, wobei der Isomorphismus die transitive Menge κ ∪ {a} invariantläßt. Insbesondere muß κ ∪ {a} ⊆ L β sein, und wegen |β| = |L β | = |b| = κerhalten wir L β ⊆ L κ +.□Die konstruktiblen Teilmengen von ω sind also bereits Elemente von L ω1 ,allgemeiner erhalten wir wegen |L κ +| = κ + für unendliche Kardinalzahlen κ alsFolgerungV = L → GCH, insbesondere :Ist ZF widerspruchsfrei, so auch ZF + AC + GCH.17.7 Relative KonstruktibilitätDer Begriff der Konstruktibilität läßt sich relativieren auf eine vorgegebene Mengea: Setzt manL 0 [a] = TC({a}),L α+1 [a] = Def (L α [a]),L λ [a] = ⋃L ξ [a] für Limeszahlen λ,L[a] :=ξ
17.7. RELATIVE KONSTRUKTIBILITÄT 160Auch die COHENschen Modelle, mit denen die Unabhängigkeit etwa von CHgezeigt wurde, sind Modelle relativer Konstruktibilität, aber Mengen, und zwargehen sie von einem abzählbaren Modell von ZF + AC (wie etwa dem Minimalmodell)aus und erweitern es für eine geeignete (“generische”) Menge G ⊆ Mzu einem Modell der Form M[G], wobei G ∈ M[G], aber M und M[G] dieselbenOrdinalzahlen besitzen. G enthält dabei die notwendige Information, um z. B. zuerzwingen, daß in M[G] : 2 ℵ 0 > ℵ 1 gilt (forcing-Methode).
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17.7. RELATIVE KONSTRUKTIBILITÄT 159SKOLEM erhalten wir eine Menge b ⊆ L λ mit κ ∪ {a} ⊆ b ∧ |b| = κ, so daß bdieselben Formeln erfüllt wie L λ . Nach dem Kondensationslemma ist (b,∈) ∼ =(L β ,∈) für ein β, wobei der Isomorphismus die transitive Menge κ ∪ {a} invariantläßt. Insbesondere muß κ ∪ {a} ⊆ L β sein, und wegen |β| = |L β | = |b| = κerhalten wir L β ⊆ L κ +.□Die konstruktiblen Teilmengen von ω sind also bereits Elemente von L ω1 ,allgemeiner erhalten wir wegen |L κ +| = κ + für unendliche Kardinalzahlen κ alsFolgerungV = L → GCH, insbesondere :Ist ZF widerspruchsfrei, so auch ZF + AC + GCH.17.7 Relative KonstruktibilitätDer Begriff der Konstruktibilität läßt sich relativieren auf eine vorgegebene Mengea: Setzt manL 0 [a] = TC({a}),L α+1 [a] = Def (L α [a]),L λ [a] = ⋃L ξ [a] für Limeszahlen λ,L[a] :=ξ
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