Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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17.4. DAS KONDENSATIONSLEMMA 157Als nächstes zeigen wir die Injektivität von F, indem wir für jedes a ∈ A durchR-Induktion zeigen:∀x ∈ A(F(a) = F(x) → a = x).Sei also nach InduktionsvoraussetzungAus F(a) = F(b) folgt dann:∀z(zRa → ∀x ∈ A(F(z) = F(x) → z = x)).cRa → F(c) ∈ F(a) = F(b)→ F(c) = F(x) für ein xRb→ c = x nach Ind.vor., da cRa→cRb.Ganz analog erhalten wir cRb → cRa, also die gewünschte Aussage a = b wegender Extensionalität von R. Schließlich ergibt sich hieraus wie früher:F(a) ∈ F(b) → F(a) = F(c) für ein cRb→→a = c wegen der Injektivität von FaRb.Wählen wir als Aussage σ die endlich-vielen Axiome der Theorie T + V = Lvon 17.2, so erhalten wir mittels des Isomorphiesatzes von MOSTOWSKI dasKondensationslemmaEs gibt eine Aussage σ, die in allen Modellen der Form (L λ ,∈) mit Lim(λ),λ > ωgilt, so daß für jedes Modell (a,∈) von σ ein α existiert mit(a,∈) ∼ = (L α ,∈).Ist außerdem c ⊆ a ∧ trans(c), so läßt der Isomorphismus die Elemente von cinvariant, d. h. ist die Identität auf c.□□
17.5. DAS COHENSCHE MINIMALMODELL 15817.5 Das Cohensche MinimalmodellWenn ZF widerspruchsfrei ist (was wir hoffen), so besitzt es ein Modell, alsoexistiert eine Menge M und eine darauf erklärte 2-stellige Relation ∈ M , so daß(M,∈ M ) ein Modell von ZF ist, d. h. alle ZF-Axiome sind wahr, wenn Mengen alsElemente von M und die ∈-Beziehung durch die Relation ∈ M interpretiert werden.Interessanter wäre es sicher, wenn es ein Standardmodell, also ein Modell derForm (a,∈), für eine Menge a gäbe. Diese Forderung können wir mit Hilfe desformalisierten Wahrheitsbegriffes sogar als AxiomSM ∃xSMod(x,ZF) (Existenz eines Standardmodells)aufschreiben, wenn wir die Menge ZF definieren als Menge der Codes derAxiome von ZF und SMod(a) :↔ ∀e ∈ ZF Sat(a,e). Setzen wir nun (außerden ZF-Axiomen) das Axiom SM voraus, so gibt es auch ein Standardmodellvon ZF ∗ V = L und nach dem Kondensationslemma sogar ein transitives derartigesModell von der Form L α . Das kleinste derartige Standardmodell von ZFheißt das COHENsche Minimalmodell, es ist von der Form L α0 , wobei nach demSatz 15.3.3 von LÖWENHEIM-SKOLEM die Ordinalzahl α 0 abzählbar sein muß.In diesem Modell kann es dann offenbar kein Minimalmodell geben, also gilt dasAxiom SM hierin nicht, so daß ZF + V = L + ¬SM widerspruchsfrei ist. COHENhat es außerdem dazu benutzt zu zeigen, daß man die Methode der Inneren ZF-Modelle nicht verwenden kann, um die Unabhängigkeit des Axioms V = L (undseiner Folgerungen) zu beweisen.17.6 GCH in LEs sei a ⊆ κ für ein unendliches κ und außerdem a ∈ L. Dann ist sicher a ∈ L αfür ein α. Wir wollen zeigen, daß ein solches α unabhängig von a gewählt werdenkann, und zwar mit der Abschätzung α ≤ κ + :Satza ⊆ κ ∧ a ∈ L → a ∈ L κ +.Beweis: Sei also a ∈ L ∧ a ⊆ κ für eine unendliche Kardinalzahl κ. Dann gibt eseine Limeszahl λ > κ mit a ∈ L λ . Mit Hilfe des Satzes 15.3.3 von LÖWENHEIM-
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17.4. DAS KONDENSATIONSLEMMA 157Als nächstes zeigen wir die Injektivität von F, indem wir für jedes a ∈ A durchR-Induktion zeigen:∀x ∈ A(F(a) = F(x) → a = x).Sei also nach InduktionsvoraussetzungAus F(a) = F(b) folgt dann:∀z(zRa → ∀x ∈ A(F(z) = F(x) → z = x)).cRa → F(c) ∈ F(a) = F(b)→ F(c) = F(x) für ein xRb→ c = x nach Ind.vor., da cRa→cRb.Ganz analog erhalten wir cRb → cRa, also die gewünschte Aussage a = b wegender Extensionalität von R. Schließlich ergibt sich hieraus wie früher:F(a) ∈ F(b) → F(a) = F(c) für ein cRb→→a = c wegen der Injektivität von FaRb.Wählen wir als Aussage σ die endlich-vielen Axiome der Theorie T + V = Lvon 17.2, so erhalten wir mittels des Isomorphiesatzes von MOSTOWSKI dasKondensationslemmaEs gibt eine Aussage σ, die in allen Modellen der Form (L λ ,∈) mit Lim(λ),λ > ωgilt, so daß für jedes Modell (a,∈) von σ ein α existiert mit(a,∈) ∼ = (L α ,∈).Ist außerdem c ⊆ a ∧ trans(c), so läßt der Isomorphismus die Elemente von cinvariant, d. h. ist die Identität auf c.□□
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