Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
17.4. DAS KONDENSATIONSLEMMA 155SatzEs gibt eine ∆ KP -Relation < L und eine Σ KP -Funktion F, die beide bezüglich Labsolut sind, derart daß in KP gilt:V = L → < L ist Wohlordnung von L, F : On ↔ L.Insbesondere gilt AC L und somit:BemerkungenOffensichtlich istIst ZF widerspruchsfrei, so auch ZF + AC.L ⊆ HOD ⊆ V.Falls V = L, so natürlich auch V = HOD, aber möglich ist auch: L ⊂ HOD =V, L ⊂ HOD ⊂ V, L = HOD ⊂ V .□17.4 Das KondensationslemmaBevor wir zeigen, daß aus V = L auch die allgemeine Kontinuumshypothese GCHfolgt, benötigen wir noch einige Hilfsmittel. Zunächst greifen wir auf unserefrüheren Ergebnisse über Wohlordnungen (6.1) zurück. Wie dort bemerkt, lassensie sich weitgehend auf fundierte Relationen übertragen:Eine Relation R auf einer Klasse A heißt fundiert gdw(F1) ∀z(/0 ≠ z ⊆ A → ∃x ∈ z ∀y ∈ z ¬yRx) Minimalitätsbedingung(F2) ∀y ∈ A Mg({x|xRy}) MengenbedingungOffenbar muß eine fundierte Relation irreflexiv sein, dagegen ist eine Wohlordnungzusätzlich transitiv und connex. Die Transitivität kann man durch Erweiterungerreichen (ähnlich wie man die ∈-Beziehung x ∈ y zu einer transitivenRelation x ∈ TC(y) erweitern kann):aR ∗ b :↔ ∃n < ω ∃ f ( f : n + 1 → V ∧ f (0) = a ∧ ∀i < n f (i)R f (i + 1) ∧ f (n) = b).R ∗ heißt die Vorfahrenrelation zu R; es gilt nämlich aR ∗ b gdw es eine endlicheR-Kette von a nach b gibt.
17.4. DAS KONDENSATIONSLEMMA 156SatzR sei eine fundierte Relation auf A. Dann ist R ∗ eine transitive Erweiterung vonR, die ebenfalls fundiert ist. □Mit Hilfe von R ∗ kann man nun wie früher zeigen, daß für fundierte RelationenR das Prinzip (F1) sich verallgemeinern läßt zum Minimumsprinzip fürnicht-leere Teilklassen von A, einem entsprechenden Induktionsprinzip sowie einemRekursionssatz. Um auch ein Gegenstück zum früheren Kontraktionslemma6.5 zu erhalten, benötigen wir noch den Begriff der extensionalen Relation:R extensional :↔ ∀x,y ∈ A[∀z ∈ A(zRx ↔ zRy) → x = y].Daß R extensional ist, bedeutet also gerade, daß das Extensionalitätsaxiom fürdie Relation R auf A gilt. Dagegen ist die Fundiertheit von R eine echt stärkere Bedingungals die Gültigkeit des Fundierungsaxioms für die Struktur (A,R), denn eskönnte durchaus sein, daß es in A keine unendlich-absteigende R-Folge gibt, dafüraber außerhalb von A. Andererseits ist die ∈-Relation fundiert aufgrund des Fundierungsaxiomsund bleibt fundiert, wenn man sie auf eine Klasse A einschränkt.Somit ist die ∈-Beziehung auf einer transitiven Klasse A ein Beispiel einer fundiertenund extensionalen Relation und zudem im wesentlichen das einzige:Isomorphiesatz von MostowskiR sei eine fundierte und extensionale Relation auf A. Dann existiert genau eineAbbildung F und eine transitive Klasse B, so daß:F ist ein Isomorphismus: (A,R) ∼ = (B,∈), d.h.F : A ←→ B mitaRb ↔ F(a) ∈ F(b) für alle a,b ∈ A.Beweis: Falls ein solches F mit transitivem B = W(F) existiert, muß wie frühergelten:(∗) ∀x ∈ A F(x) = {F(y) | yRx},und damit haben wir die Eindeutigkeit. Zum Beweis der Existenz definieren wir Fdurch (*) mittels R-Rekursion und setzen B := W(F). Offenbar gilt dann trans(B)undF : A ↠ B ∧ ∀x,y ∈ A(xRy → F(x) ∈ F(y)).
- Seite 111 und 112: 12.5. DER SATZ VON CANTOR-BENDIXSON
- Seite 113 und 114: 12.6. DIE BORELSCHEN MENGEN 10612.6
- Seite 115 und 116: 12.7. VERSPIELTE MENGEN 10812.7 Ver
- Seite 117 und 118: 110Kapitel 13Potenzen von Kardinalz
- Seite 119 und 120: 13.1. UNENDLICHE SUMMEN UND PRODUKT
- Seite 121 und 122: 13.2. SATZ VON KÖNIG-JOURDAIN 1142
- Seite 123 und 124: 13.3. EINGESCHRÄNKTE POTENZMENGENO
- Seite 125 und 126: 13.5. EIGENSCHAFTEN REGULÄRER KARD
- Seite 127 und 128: 13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
- Seite 129 und 130: 13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
- Seite 131 und 132: 124Teil VReflexionen über Mengen
- Seite 133 und 134: 14.1. DIE LEVY-HIERARCHIE DER MENGE
- Seite 135 und 136: 14.3. DIE THEORIE KP VON KRIPKE-PLA
- Seite 137 und 138: 14.4. PARTIELLE REFLEXIONSPRINZIPIE
- Seite 139 und 140: 132Kapitel 15Vollständige Reflexio
- Seite 141 und 142: 15.2. REFLEXION ÜBER KLASSEN 134Be
- Seite 143 und 144: 15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 136Men
- Seite 145 und 146: 15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 138Ins
- Seite 147 und 148: 140Kapitel 16Innere Modelle16.1 Def
- Seite 149 und 150: 16.2. RELATIVE KONSISTENZBEWEISE 14
- Seite 151 und 152: 16.3. GÖDELISIERUNG 144Beispiele1.
- Seite 153 und 154: 16.3. GÖDELISIERUNG 146wobei man a
- Seite 155 und 156: 16.4. CHARAKTERISIERUNG INNERER ZF-
- Seite 157 und 158: 16.4. CHARAKTERISIERUNG INNERER ZF-
- Seite 159 und 160: 152Kapitel 17Konstruktible Mengen17
- Seite 161: 17.3. EINE DEFINIERBARE WOHLORDNUNG
- Seite 165 und 166: 17.5. DAS COHENSCHE MINIMALMODELL 1
- Seite 167 und 168: 17.7. RELATIVE KONSTRUKTIBILITÄT 1
- Seite 169 und 170: 162Kapitel 18Große KardinalzahlenW
- Seite 171 und 172: 18.2. GROSSE UNENDLICHE ZAHLEN 164
- Seite 173 und 174: 18.3. IDEALE UND FILTER 166was wege
- Seite 175 und 176: 18.3. IDEALE UND FILTER 1687. Für
- Seite 177 und 178: 18.4. MAHLOSCHE ZAHLEN 170MAHLOsche
- Seite 179 und 180: 18.5. MESSBARE ZAHLEN 172das Einhei
- Seite 181 und 182: 18.5. MESSBARE ZAHLEN 174• ist κ
- Seite 183 und 184: 19.1. DAS SCHUBFACHPRINZIP 176Eine
- Seite 185 und 186: 19.2. L KANN SEHR KLEIN SEIN 178Sat
- Seite 187 und 188: 180Monographien mit besonderen Schw
17.4. DAS KONDENSATIONSLEMMA 155SatzEs gibt eine ∆ KP -Relation < L und eine Σ KP -Funktion F, die beide bezüglich Labsolut sind, derart daß in KP gilt:V = L → < L ist Wohlordnung von L, F : On ↔ L.Insbesondere gilt AC L und somit:BemerkungenOffensichtlich istIst ZF widerspruchsfrei, so auch ZF + AC.L ⊆ HOD ⊆ V.Falls V = L, so natürlich auch V = HOD, aber möglich ist auch: L ⊂ HOD =V, L ⊂ HOD ⊂ V, L = HOD ⊂ V .□17.4 Das KondensationslemmaBevor wir zeigen, daß aus V = L auch die allgemeine Kontinuumshypothese GCHfolgt, benötigen wir noch einige Hilfsmittel. Zunächst greifen wir auf unserefrüheren Ergebnisse über Wohlordnungen (6.1) <strong>zur</strong>ück. Wie dort bemerkt, lassensie sich weitgehend auf fundierte Relationen übertragen:Eine Relation R auf einer Klasse A heißt fundiert gdw(F1) ∀z(/0 ≠ z ⊆ A → ∃x ∈ z ∀y ∈ z ¬yRx) Minimalitätsbedingung(F2) ∀y ∈ A Mg({x|xRy}) MengenbedingungOffenbar muß eine fundierte Relation irreflexiv sein, dagegen ist eine Wohlordnungzusätzlich transitiv und connex. Die Transitivität kann man durch Erweiterungerreichen (ähnlich wie man die ∈-Beziehung x ∈ y zu einer transitivenRelation x ∈ TC(y) erweitern kann):aR ∗ b :↔ ∃n < ω ∃ f ( f : n + 1 → V ∧ f (0) = a ∧ ∀i < n f (i)R f (i + 1) ∧ f (n) = b).R ∗ heißt die Vorfahrenrelation zu R; es gilt nämlich aR ∗ b gdw es eine endlicheR-Kette von a nach b gibt.
Change language