Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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17.2. ABSOLUTHEIT VON L 153(v) L ∩ α = L α ∩ On = α,(vi) α ≤ ω → L α = V α ,(vii) α ≥ ω → |L α | = |α|.Beweis: (i) - (iii) beweist man durch Induktion über α, was sich dann leicht aufden Nachfolgerfall reduzieren läßt, für den man die Eigenschaften des Definierbarkeitsbegriffesaus 16.3.4 benutzt.Auch für (iv) braucht man auch nur α,L α ∈ L α+1 zu zeigen, letzteres giltwieder nach 16.3.4. Benutzt man als Induktionsvoraussetzung∀γ < α γ ∈ L γ+1 ,so gilt α ⊆ L α nach (ii) und wegen (iii) α = L α ∩ On. Somitα = {x ∈ L α | Ord L α(x)} ∈ L α+1 ,womit wir zugleich auch (v) bewiesen haben. Da für jedes endliche α auch V αendlich ist, so gilt (vi).Wegen (v) gilt |α| ≤ |L α |, also braucht man für (vii) nur |L α | ≤ |α| zu zeigen,und wegen (vi) können wir α ≥ ω annehmen. Sei also |L α | ≤ |α| für ein unendlichesα. Da es nur abzählbar-viele Formeln für definierbare Mengen gibt und nachVoraussetzung auch nur ≤ |L α | ≤ |α|-viele Parameter, so ist auch |Def (L α )| =|L α+1 | ≤ |α| = |α + 1|. Der Limesfall des Induktionsbeweises ist wiederum trivial.□17.2 Absolutheit von LDie rekursive Definition und der Nachweis der wichtigsten Eigenschaften derHierarchie der konstruktiblen Mengen (ohne (vi)) ist bereits in KP ∞ und damitsogar in einer endlichen Teiltheorie von KP ∞ möglich:SatzEs gibt eine Theorie T, die aus endlich-vielen Axiomen von KP ∞ besteht und diein allen Modellen der Form L λ mit Lim(λ) ∧ λ > ω gelten, so daß:
17.3. EINE DEFINIERBARE WOHLORDNUNG VON L 154(i) Die Prädikate bzw. die Aussageb = Def(a), a = L α , a ∈ L αa ∈ LV = Lsind ∆ T 1 − de f inierbar,ist Σ T 1 − de f inierbar,ist Π T 2 − de f inierbar.(ii) (Absolutheit) Ist M transitives Modell von T (oder sogar von ZF), so gilt:L M α = L αfür alle α ∈ On, insbesondere:L M = L, falls M echte Klasse ist, also On ⊆ M,L M = L α , falls M Menge ist, also α = On ∩ M für ein α.(iii) (Minimalität, ZF vorausgesetzt) L ist das kleinste innere ZF-Modell.(iv) L L = L, somit gilt (V = L) L und damit:Ist ZF widerspruchsfrei, so auch ZF + V = L.(v) Ist M transitives Modell von T + V = L, so gilt:{L, falls M echte Klasse ist, also On ⊆ M,M =L α , falls M Menge ist, also α = On ∩ M für ein α.Aus (iv) folgt, daß natürlich auch alle Folgerungen aus der Annahme V = L widerspruchsfreisind relativ zu ZF.17.3 Eine definierbare Wohlordnung von LDie Klasse L der konstruktiblen Mengen besitzt eine einfache definierbare Wohlordnung,und zwar läßt sich aus einer Wohlordnung einer Menge a• eine Wohlordnung der endlichen Folgen von Elementen aus a definierenund• mit einer Wohlordnung aller (abzählbar-vielen) mengentheoretischen Formelnerhält man daraus dann eine Wohlordnung der definierbaren Teilmengen von a:
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17.3. EINE DEFINIERBARE WOHLORDNUNG VON L 154(i) Die Prädikate bzw. die Aussageb = Def(a), a = L α , a ∈ L αa ∈ LV = Lsind ∆ T 1 − de f inierbar,ist Σ T 1 − de f inierbar,ist Π T 2 − de f inierbar.(ii) (Absolutheit) Ist M transitives Modell von T (oder sogar von ZF), so gilt:L M α = L αfür alle α ∈ On, insbesondere:L M = L, falls M echte Klasse ist, also On ⊆ M,L M = L α , falls M Menge ist, also α = On ∩ M für ein α.(iii) (Minimalität, ZF vorausgesetzt) L ist das kleinste innere ZF-Modell.(iv) L L = L, somit gilt (V = L) L und damit:Ist ZF widerspruchsfrei, so auch ZF + V = L.(v) Ist M transitives Modell von T + V = L, so gilt:{L, falls M echte Klasse ist, also On ⊆ M,M =L α , falls M Menge ist, also α = On ∩ M für ein α.Aus (iv) folgt, daß natürlich auch alle Folgerungen aus der Annahme V = L widerspruchsfreisind relativ zu ZF.17.3 Eine definierbare Wohlordnung von LDie Klasse L der konstruktiblen Mengen besitzt eine einfache definierbare Wohlordnung,und zwar läßt sich aus einer Wohlordnung einer Menge a• eine Wohlordnung der endlichen Folgen von Elementen aus a definierenund• mit einer Wohlordnung aller (abzählbar-vielen) mengentheoretischen Formelnerhält man daraus dann eine Wohlordnung der definierbaren Teilmengen von a: