Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

17.2. ABSOLUTHEIT VON L 153(v) L ∩ α = L α ∩ On = α,(vi) α ≤ ω → L α = V α ,(vii) α ≥ ω → |L α | = |α|.Beweis: (i) - (iii) beweist man durch Induktion über α, was sich dann leicht aufden Nachfolgerfall reduzieren läßt, für den man die Eigenschaften des Definierbarkeitsbegriffesaus 16.3.4 benutzt.Auch für (iv) braucht man auch nur α,L α ∈ L α+1 zu zeigen, letzteres giltwieder nach 16.3.4. Benutzt man als Induktionsvoraussetzung∀γ < α γ ∈ L γ+1 ,so gilt α ⊆ L α nach (ii) und wegen (iii) α = L α ∩ On. Somitα = {x ∈ L α | Ord L α(x)} ∈ L α+1 ,womit wir zugleich auch (v) bewiesen haben. Da für jedes endliche α auch V αendlich ist, so gilt (vi).Wegen (v) gilt |α| ≤ |L α |, also braucht man für (vii) nur |L α | ≤ |α| zu zeigen,und wegen (vi) können wir α ≥ ω annehmen. Sei also |L α | ≤ |α| für ein unendlichesα. Da es nur abzählbar-viele Formeln für definierbare Mengen gibt und nachVoraussetzung auch nur ≤ |L α | ≤ |α|-viele Parameter, so ist auch |Def (L α )| =|L α+1 | ≤ |α| = |α + 1|. Der Limesfall des Induktionsbeweises ist wiederum trivial.□17.2 Absolutheit von LDie rekursive Definition und der Nachweis der wichtigsten Eigenschaften derHierarchie der konstruktiblen Mengen (ohne (vi)) ist bereits in KP ∞ und damitsogar in einer endlichen Teiltheorie von KP ∞ möglich:SatzEs gibt eine Theorie T, die aus endlich-vielen Axiomen von KP ∞ besteht und diein allen Modellen der Form L λ mit Lim(λ) ∧ λ > ω gelten, so daß: