Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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1.3. CHARAKTERISIERUNG DER ORDINALZAHLEN 91.3 Charakterisierung der Ordinalzahlen(i) Ord(a) ↔ trans(a) ∧ con(a).(ii) Elemente von Ordinalzahlen sind wieder Ordinalzahlen:Ord(a) ∧ b ∈ a → Ord(b).Beweis: Da ∈ a eine Wohlordnung auf a ist gdw ∈ a irreflexiv, transitiv, connexund fundiert ist und die Irreflexivität aus der Fundiertheit folgt, ist nach unsererVereinbarung (alle Mengen sind fundiert) für (i) nur zu zeigen:con(a) → trans(∈ a ).Sei also con(a) sowie b,c,d ∈ a mit b ∈ c ∧ c ∈ d. Beh.: b ∈ d.Es gilt: b ∈ d ∨ d = b ∨ d ∈ b wegen con(a).Falls d = b, so hätten wir b ∈ c ∧ c ∈ b im Widerspruch zu (F ∗ )falls d ∈ b, so d ∈ b ∧ b ∈ c ∧ c ∈ d im Widerspruch zu (F ∗ ).Somit bleibt nur die Möglichkeit b ∈ d.Um (ii) zu zeigen, sei Ord(a) ∧ b ∈ a. Dann ist wegen trans(a): b ⊆ a undmit ∈ a auch ∈ b eine Wohlordnung. Somit brauchen wir nur noch zu zeigen, daß bauch transitiv ist:Sei x ∈ y ∈ b. Beh.: x ∈ b. Dazu argumentieren wir wie oben: Es sind x,b ∈ a (erstereswegen trans(a)), also sind beide wegen con(a) miteinander vergleichbar:x ∈ b ∨ x = b ∨ b ∈ x, wobei die letzten beiden Möglichkeiten zu einem Widerspruchzur Fundierung (F ∗ ) führen.□1.4 Die Ordnung der OrdinalzahlenOrdinalzahlen werden üblicherweise mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet:α,β,γ,...,ξ ,η,ζ ,... stehen für Ordinalzahlen,ebenso die Quantoren∀ξ ,...∃ζ ... für ∀x(Ord(x) → ...),...∃y(Ord(y) ∧ ...)...Ferner schreiben wirα < β für α ∈ β,α ≤ β für α ∈ β ∨ α = β.
1.4. DIE ORDNUNG DER ORDINALZAHLEN 10Wir werden gleich zeigen, daß alle Ordinalzahlen durch die ∈-Relation nicht nurgeordnet, sondern sogar wohlgeordnet sind, so daß diese Bezeichnungsweise gerechtfertigtist. Der obige Satz 1.3 besagt also im Teil (ii) : α = {ξ | ξ < α}.Satzα ≤ β ↔ α ∈ β ∨ α = β ↔ α ⊆ β.Beweis: Wir zeigen zunächst etwas allgemeiner:trans(a) ∧ a ⊆ β → Ord(a) ∧ (a ∈ β ∨ a = β)Sei trans(a) ∧ a ⊆ β. Dann ist auch ∈ a eine Wohlordnung, also Ord(a).Falls a ≠ β, so a ⊂ β, d. h. β − a ≠ /0, und wir können wegen der Fundiertheitein minimales γ ∈ β −a wählen, von dem wir zeigen werden, daß a = γ und damita ∈ β wie erwünscht:Sei also γ ∈ β − a ∈-minimal, so daß insbesondere ∀x ∈ γ x ∈ a, d. h. γ ⊆ a.Es gilt dann aber auch a ⊆ γ :Sei x ∈ a. Dann x ∈ β (nach Voraussetzung) und x ∈ γ ∨ x = γ ∨ γ ∈ x wegencon(β). Aber die letzten beiden Fälle können nicht eintreten: x = γ → γ ∈ a undγ ∈ x → γ ∈ a (wegen trans(a)), es ist aber nach Wahl von γ : γ ∉ a. □Somit haben wir mengentheoretisch nicht nur eine einfache
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1.3. CHARAKTERISIERUNG DER ORDINALZAHLEN 91.3 Charakterisierung der Ordinalzahlen(i) Ord(a) ↔ trans(a) ∧ con(a).(ii) Elemente von Ordinalzahlen sind wieder Ordinalzahlen:Ord(a) ∧ b ∈ a → Ord(b).Beweis: Da ∈ a eine Wohlordnung auf a ist gdw ∈ a irreflexiv, transitiv, connexund fundiert ist und die Irreflexivität aus der Fundiertheit folgt, ist nach unsererVereinbarung (alle Mengen sind fundiert) für (i) nur zu zeigen:con(a) → trans(∈ a ).Sei also con(a) sowie b,c,d ∈ a mit b ∈ c ∧ c ∈ d. Beh.: b ∈ d.Es gilt: b ∈ d ∨ d = b ∨ d ∈ b wegen con(a).Falls d = b, so hätten wir b ∈ c ∧ c ∈ b im Widerspruch zu (F ∗ )falls d ∈ b, so d ∈ b ∧ b ∈ c ∧ c ∈ d im Widerspruch zu (F ∗ ).Somit bleibt nur die Möglichkeit b ∈ d.Um (ii) zu zeigen, sei Ord(a) ∧ b ∈ a. Dann ist wegen trans(a): b ⊆ a undmit ∈ a auch ∈ b eine Wohlordnung. Somit brauchen wir nur noch zu zeigen, daß bauch transitiv ist:Sei x ∈ y ∈ b. Beh.: x ∈ b. Dazu argumentieren wir wie oben: Es sind x,b ∈ a (erstereswegen trans(a)), also sind beide wegen con(a) miteinander vergleichbar:x ∈ b ∨ x = b ∨ b ∈ x, wobei die letzten beiden Möglichkeiten zu einem Widerspruch<strong>zur</strong> Fundierung (F ∗ ) führen.□1.4 Die Ordnung der OrdinalzahlenOrdinalzahlen werden üblicherweise mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet:α,β,γ,...,ξ ,η,ζ ,... stehen für Ordinalzahlen,ebenso die Quantoren∀ξ ,...∃ζ ... für ∀x(Ord(x) → ...),...∃y(Ord(y) ∧ ...)...Ferner schreiben wirα < β für α ∈ β,α ≤ β für α ∈ β ∨ α = β.
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