Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

16.4. CHARAKTERISIERUNG INNERER ZF-MODELLE 151Sei a ∈ M, etwa a ∈ M α für ein α. Dann ist P(a) M ⊆ M, und da es eine Mengeist, muß es ein β ≥ α geben, so daß P(a) M ⊆ M β . dann ist aber nach (I5) P(a) M ∈M β+1 .□Um ein inneres ZF-Modell zu erhalten, sind wir nur im Limesfall festgelegt.Für den Nachfolgerfall gibt es zwei Extremfälle:(i) M α+1 = De f (M α ) bzw.(ii) M α+1 = P(M α ).Legen wir M 0 = /0 fest, so ergibt (i) die Klasse M = L der konstruktiblen Mengenund somit das kleinste innere ZF-Modell, während (ii) zur VON NEUMANNscheHierarchie mit M = V als dem größten ZF-Modell führt. Dazwischen liegen möglicherweiseweitere Modelle, die man außerdem noch durch die FestlegungM 0 = TC(a)für eine vorgegebene Menge a abwandeln kann.