Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

16.4. CHARAKTERISIERUNG INNERER ZF-MODELLE 148und dieses ist die wichtigste Eigenschaft des Definierbarkeitsbegriffes (außerseiner ∆-Definierbarkeit in KP ∞ ). Insbesondere:2. /0,a ∈ Def(a),3. a 1 ,...,a n ∈ a → {a 1 ,...,a n } ∈ Def(a),4. c,d ∈ Def(a) → c ∪ d,c ∩ d,c − d ∈ Def(a),5. trans(a) → a ⊆ Def(a) ∧ trans(Def(a)).16.4 Charakterisierung Innerer ZF-ModelleDefinition:Eine Klasse M heißtZF-Modell gdw σ M für alle ZF-Axiome σ gilt,transitives ZF-Modell gdw zusätzlich gilt: trans(M), undinneres ZF-Modell gdw trans(M) ∧ On ⊆ (M) ∧ σ Mfür alle ZF-Axiome σ gilt.Transitive Modelle nennt man auch Standardmodelle. Innere Modelle sind wegenOn ⊆ M stets echte Klassen. (“Innere” bezieht sich darauf, daß M ein Klassenterm,also in ZF durch eine Formel definierbar ist. Die Gültigkeit in obiger Definitionbezieht sich in der Regel auf die Theorie ZF, genauer wird dies im Begriff derInterpretation einer Theorie T in einer Theorie S festgelegt, s. 16.2.)Zunächst wollen wir zusammenstellen, was die Gültigkeit der ZF-Axiome inM (im Sinne der Relativierung) bedeutet. Dabei setzen wir die Axiome von ZFvoraus, obwohl man (zumindest in den einfachsten Fällen) für Gültigkeit von σ Mnur das Axiom σ selbst vorauszusetzen braucht:SatzM sei transitiv, M ≠ /0.(i) Ext M , Null M , FundS M gelten stets.(ii) Das Paarmengenaxiom gilt in M gdw M abgeschlossen ist unter der Paarmengenbildung:Paar M ↔ ∀x,y ∈ M {x,y} ∈ M,