Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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16.3. GÖDELISIERUNG 145Um die Menge aller definierbaren Teilmengen bilden zu können, müssen wirdiesen Begriff in der mengentheoretischen Sprache aufschreiben; insbesonderemüssen wir die Forderung “für eine mengentheoretische Formel ϕ” durch einemengentheoretische Existenzformel ausdrücken. Dazu benutzen wir eine vonGÖDEL (zunächst für die Zahlentheorie eingeführte) Kodierung der Formeln einerformalen Sprache, die jeder Formel ϕ (welche hier nun allein als formale Zeichenreihegesehen wird) eine natürliche Zahl (Gödelnummer) oder - in unseremZusammenhang einfacher - eine geeignete Menge als Code ϕ zuordnet:16.3.1 Kodierung der mengentheoretischen FormelnDie formalen Variable (für Mengen) legen wir jetzt genauer fest als v n für natürlicheZahlen n (wobei wir uns hier der Einfachheit auf eine Sorte von Variablenbeschränken und nicht zwischen freien und gebundenen Variablen unterscheiden)und setzen etwav n = (1,n).Es ist zweckmäßig, die formale mengentheoretische Sprache zu erweitern, indemman auch jeder Menge x eine formale Konstante x o zuordnet, für welche wir alsCode wählenx o = (2,x).Damit werden wir die Möglichkeit haben, bei einer vorgegebenen Struktur (a,∈)Aussagen über die Elemente von a durch Formeln wiederzugeben, die die entsprechendenKonstanten x o für x ∈ a benutzen. Wenn x o in (a,∈) durch x selbstinterpretiert werden soll, sprechen wir von einer kanonischen Interpretation.Dem rekursiven Aufbau der Formeln entsprechen die folgenden Festlegungen:x = y = (3,(x,y))x ∈ y = (4,(x,y))¬ϕ = (5,ϕ)(ϕ ∨ ψ) = (6,(ϕ,ψ))∃v n ϕ = (7,(n,ϕ))Definierbarkeit syntaktischer BegriffeVerschiedene Aussagen über Formeln, etwa “v ist eine Variable”, können wir nunals mengentheoretische Formel über die entsprechenden Codes ausdrücken:V bl(a) :↔ ∃y ∈ a∃x ∈ y(a = (1,x) ∧ x ∈ ω),
16.3. GÖDELISIERUNG 146wobei man auch die Teilformel x ∈ ω durch eine geeignete ∆ 0 -Formel ersetzenkann, welche ausdrückt, daß x eine natürliche Zahl ist. Da rekursive Begriffsbildungenbereits in der Theorie KP bzw. KP ∞ = KP + Un durchgeführt werdenkönnen, erhalten wir in dieser Theorie ∆-Formeln, welche ausdrücken:Fml n (e):Fml n a(e) :e ist Code einer Formel ϕ, welche als freie Variable höchstensv 0 ,...,v n−1 enthält, ebenso:e ist Code einer Formel ϕ, welche als freie Variable höchstensv 0 ,...,v n−1 enthält, außerdem aber Konstanten a o i mit a i ∈ a.16.3.2 Definierbarkeit des WahrheitsbegriffesErsetzen wir eine Formel ϕ durch ihren Code ϕ, so müssen wir die nach arelativierte Formel durch eine entsprechende Aussage über die Gültigkeit der Formelin (a,∈) mittels ihres Codes ausdrücken, also einen formalisierten Wahrheitsbegriffbenutzen: Entsprechend der rekursiven Definition des Wahrheitsbegriffeskann man eine eine mengentheoretische Formel Sat(a,e) finden, welche in derTheorie KP ∞ durch ∆-Formeln definierbar ist und ausdrückt:Sat(a,e):e ist Code einer Formel ϕ(a o 0 ,...,ao n), die keine freie Variable enthält,und ϕ ist wahr in (a,∈) unter der kanonischen Interpretation.Für Sat(a,e) werden wir auch schreiben (a,∈) |= e. Für jede einzelne Formelstimmt dann die formale Definition der Gültigkeit mit der Relativierung überein:Satz über die Relativierungϕ(v 0 ,...,v n−1 ) sei eine mengentheoretische Formel mit den angegebenen freienVariablen, a 0 ,...,a n−1 ∈ a. Dann gilt in KP ∞ :ϕ a (a 0 ,...,a n−1 ) ↔ Sat(a,ϕ(a o 0 ,...,ao n−1 )).Beweis durch einfache Induktion über den Formelaufbau, wobei im Falle eineratomaren Formel beide Seiten dasselbe aussagen (wegen unserer Festlegung aufdie kanonische Interpretation der Konstanten), und sich in den Induktionsfällenbeide Seiten gegenüber den entsprechenden Fällen für ihre Teilformeln gleich verhalten.□
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16.3. GÖDELISIERUNG 146wobei man auch die Teilformel x ∈ ω durch eine geeignete ∆ 0 -Formel ersetzenkann, welche ausdrückt, daß x eine natürliche Zahl ist. Da rekursive Begriffsbildungenbereits in der Theorie KP bzw. KP ∞ = KP + Un durchgeführt werdenkönnen, erhalten wir in dieser Theorie ∆-Formeln, welche ausdrücken:Fml n (e):Fml n a(e) :e ist Code einer Formel ϕ, welche als freie Variable höchstensv 0 ,...,v n−1 enthält, ebenso:e ist Code einer Formel ϕ, welche als freie Variable höchstensv 0 ,...,v n−1 enthält, außerdem aber Konstanten a o i mit a i ∈ a.16.3.2 Definierbarkeit des WahrheitsbegriffesErsetzen wir eine Formel ϕ durch ihren Code ϕ, so müssen wir die nach arelativierte Formel durch eine entsprechende Aussage über die Gültigkeit der Formelin (a,∈) mittels ihres Codes ausdrücken, also einen formalisierten Wahrheitsbegriffbenutzen: Entsprechend der rekursiven Definition des Wahrheitsbegriffeskann man eine eine mengentheoretische Formel Sat(a,e) finden, welche in derTheorie KP ∞ durch ∆-Formeln definierbar ist und ausdrückt:Sat(a,e):e ist Code einer Formel ϕ(a o 0 ,...,ao n), die keine freie Variable enthält,und ϕ ist wahr in (a,∈) unter der kanonischen Interpretation.Für Sat(a,e) werden wir auch schreiben (a,∈) |= e. Für jede einzelne Formelstimmt dann die formale Definition der Gültigkeit mit der Relativierung überein:Satz über die Relativierungϕ(v 0 ,...,v n−1 ) sei eine mengentheoretische Formel mit den angegebenen freienVariablen, a 0 ,...,a n−1 ∈ a. Dann gilt in KP ∞ :ϕ a (a 0 ,...,a n−1 ) ↔ Sat(a,ϕ(a o 0 ,...,ao n−1 )).Beweis durch einfache Induktion über den Formelaufbau, wobei im Falle eineratomaren Formel beide Seiten dasselbe aussagen (wegen unserer Festlegung aufdie kanonische Interpretation der Konstanten), und sich in den Induktionsfällenbeide Seiten gegenüber den entsprechenden Fällen für ihre Teilformeln gleich verhalten.□
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