Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

16.3. GÖDELISIERUNG 145Um die Menge aller definierbaren Teilmengen bilden zu können, müssen wirdiesen Begriff in der mengentheoretischen Sprache aufschreiben; insbesonderemüssen wir die Forderung “für eine mengentheoretische Formel ϕ” durch einemengentheoretische Existenzformel ausdrücken. Dazu benutzen wir eine vonGÖDEL (zunächst für die Zahlentheorie eingeführte) Kodierung der Formeln einerformalen Sprache, die jeder Formel ϕ (welche hier nun allein als formale Zeichenreihegesehen wird) eine natürliche Zahl (Gödelnummer) oder - in unseremZusammenhang einfacher - eine geeignete Menge als Code ϕ zuordnet:16.3.1 Kodierung der mengentheoretischen FormelnDie formalen Variable (für Mengen) legen wir jetzt genauer fest als v n für natürlicheZahlen n (wobei wir uns hier der Einfachheit auf eine Sorte von Variablenbeschränken und nicht zwischen freien und gebundenen Variablen unterscheiden)und setzen etwav n = (1,n).Es ist zweckmäßig, die formale mengentheoretische Sprache zu erweitern, indemman auch jeder Menge x eine formale Konstante x o zuordnet, für welche wir alsCode wählenx o = (2,x).Damit werden wir die Möglichkeit haben, bei einer vorgegebenen Struktur (a,∈)Aussagen über die Elemente von a durch Formeln wiederzugeben, die die entsprechendenKonstanten x o für x ∈ a benutzen. Wenn x o in (a,∈) durch x selbstinterpretiert werden soll, sprechen wir von einer kanonischen Interpretation.Dem rekursiven Aufbau der Formeln entsprechen die folgenden Festlegungen:x = y = (3,(x,y))x ∈ y = (4,(x,y))¬ϕ = (5,ϕ)(ϕ ∨ ψ) = (6,(ϕ,ψ))∃v n ϕ = (7,(n,ϕ))Definierbarkeit syntaktischer BegriffeVerschiedene Aussagen über Formeln, etwa “v ist eine Variable”, können wir nunals mengentheoretische Formel über die entsprechenden Codes ausdrücken:V bl(a) :↔ ∃y ∈ a∃x ∈ y(a = (1,x) ∧ x ∈ ω),