Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

16.3. GÖDELISIERUNG 144Beispiele1. ZF 0 sei die Theorie ZF, aber ohne das Fundierungsaxiom. In ZF 0 müssenwir den Ordinalzahlbegriff mit dem Zusatz fund(a) definieren, dann geltendie früheren Ergebnisse über transfinite Induktion und Rekursion in ZF 0 .Bildet man die Klasse N = ⋃ α∈OnV α , so ist N eine Interpretation von ZF inZF 0 . Also gilt: Ist ZF 0 widerspruchsfrei, so auch ZF.2. Mit ähnlichen Methoden kann man (nach FRAENKEL-MOSTOWSKI-SPEK-KER) auch die Unabhängigkeit des Fundierungsaxioms beweisen. Dazu benutztman allerdings Nicht-Standard-Interpretationen, indem man für eineBijektion F : V ↔ V eine neue Elementbeziehungx ∈ F y :↔ x ∈ F(y)definiert. Das entsprechende Permutationsmodell (V,∈ F ) ist nun eine Interpretationvon ZF 0 in ZF 0 (statt der Relativierung einer Formel ϕ bildet manjetzt die Formel ϕ F , indem man überall ∈ durch ∈ F ersetzt). Für geeignetesF erhält man dann eine Interpretation von ZF 0 + ¬Fund in ZF 0 , also auchdie Aussage: Ist ZF 0 widerspruchsfrei, so auch ZF 0 + ¬Fund.3. Es sei V ω = HF die Menge der Mengen von endlichem Rang (erblichendlicheMengen). In ZF kann man dann beweisen, daß alle Axiome von ZF- bis auf das Unendlichkeitsaxiom Un - relativiert nach HF gelten, währendUn in HF nicht gilt. Somit ist HF eine Interpretation von (ZF−Un)+¬Unin ZF. Insbesondere ist das Unendlichkeitsaxiom aus den übrigen Axiomenvon ZF nicht beweisbar, falls ZF widerspruchsfrei ist.4. Das wichtigste Beispiel einer Interpretation ist die Klasse L der konstruktiblenMengen, welche eine Interpretation von ZF + AC + GCH in ZF ergibt.16.3 GödelisierungEine Menge b ist in a definierbar, wenn sie von der Formb = {z ∈ a | ϕ a (z,a 0 ,...,a n )}ist, wobei ϕ eine mengentheoretische Formel ist und und endlich-viele Elementea 0 ,...,a n ∈ a als Parameter auftreten dürfen.