Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

16.2. RELATIVE KONSISTENZBEWEISE 143läßt. Die Gültigkeit einer mengentheoretischen Aussage σ bei Einschränkung aufden Bereich M läßt sich dann einfach durch die Relativierung nach M ausdrücken:σ M ,welches wie im Falle einer Menge so erklärt ist, daß man alle Quantoren der Form∃x bzw. ∀y in σ durch die relativierten Quantoren ∃x ∈ M bzw. ∀y ∈ M ersetzt.Aus der mathematischen Logik werden wir die BezeichnungsweiseT ⊢ ϕϕ ist beweisbar in (bzw. folgt aus) Tübernehmen, ohne sie hier genauer zu präzisieren. Die Widerspruchsfreiheit einerTheorie T bedeutet dann, daß T ⊢ σ und T ⊢ ¬σ für keine Aussage σ zugleichgelten, und dies ist (wie in der Mathematischen Logik gezeigt wird) gleichbedeutenddamit, daß T ein Modell besitzt.Eine Klasse M heißt eine Interpretation von S in T gdw. man in T beweisenkann, daß M ein Modell von S ist:T ⊢ σ Mfür alle Axiome σ von S(und außerdem nachweisen kann, daß M nicht-leer ist: T ⊢ M ≠ /0).16.2.1 Satz über InterpretationenS und T seien Theorien in der mengentheoretischen Sprache, M eine Interpretationvon S in T. Dann gilt:Ist T widerspruchsfrei, so auch S .Beweis: Wäre S widerspruchsvoll, so gäbe es einen Beweis einer Aussage derForm σ ∧ ¬σ aus den Axiomen von S. Da ein Beweis endlich ist, können auchnur endlich-viele Axiome von S, etwa σ 1 ,...,σ n benutzt worden sein, so daß also⊢ σ 1 ∧ ... ∧ σ n → σ ∧ ¬σnur mit logischen Argumenten beweisbar wäre. Logische Folgerungen gelten jedochin allen (nicht-leeren) Bereichen, insbesondere, wenn sie nach M relativiertwerden:⊢ (σ 1 ∧ ... ∧ σ n ) M → (σ ∧ ¬σ) M .Da nach Voraussetzung aber M eine Interpretation von S in T ist, gelten die Voraussetzungenin T, alsoT ⊢ (σ ∧ ¬σ) M .und damit haben wir einen Widerspruch in der Theorie T (der Form σ M ∧ ¬σ M ).□