Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

1.2. DEFINITION DER ORDINALZAHLEN 81.2 Definition der OrdinalzahlenOrdinalzahlen wurden von CANTOR als Repräsentanten (isomorpher) Wohlordnungeneingeführt; heute definiert man sie nach von NEUMANN als Mengen, die(wie speziell die natürlichen Zahlen) transitiv und durch die ∈-Beziehung wohlgeordnetsind:∈ a : = {x,y | x,y ∈ a ∧ x ∈ y} Elementbeziehung auf a,Ord(a) : ↔ trans(a)∧ ∈ a ist Wohlordnung auf a Ordinalzahl,con(a) : ↔ ∀x,y ∈ a (x ∈ y ∨ x = y ∨ y ∈ x) connex,fund(a) : ↔ ∀x ⊆ a (x ≠ /0 → ∃y ∈ x ∀z ∈ x z ∉ y) fundiert.Eine Menge a ist fundiert, wenn jede nicht-leere Teilmenge b ⊆ a ein Elementbesitzt, welches minimal (bezüglich der ∈-Relation) ist; diese Bedingung ist alsoTeil der Forderung, daß ∈ a eine Wohlordnung ist (Bedingung Min in der Definitioneiner Wohlordnung). Eine Menge a mit der Eigenschaft a ∈ a ist nicht fundiert(denn {a} wäre eine nicht-leere Teilmenge ohne minimales Element), und ebensowenigist eine Menge {a,b} mit a ∈ b ∈ a fundiert.Vereinbarung zur FundierungWir wollen nun der Einfachheit halber voraussetzen, daß alle Mengen fundiertsind. Dann gilt also insbesondere:b ≠ /0 → ∃y ∈ b ∀z ∈ b z ∉ y, d. h.b ≠ /0 → ∃y ∈ b y ∩ b = /0.Damit werden dann einige ungewöhnliche Mengen ausgeschlossen, insbesondereMengen a (wie oben) die sich selbst als Element enthalten oder mit anderenMengen einen endlichen ∈-Zyklus bilden. Es gilt somit:(F ∗ ) a ∉ a, ¬(b ∈ c ∧ c ∈ b), ¬(d ∈ b ∧ b ∈ c ∧ c ∈ d),...Damit läßt sich die Definition der Ordinalzahlen wesentlich kürzer fassen(siehe (i) in folgendem Satz). Später werden wir ohnehin das Fundierungsaxiom(in der Form: alle Mengen sind fundiert) voraussetzen; alle folgenden Aussagenüber Ordinalzahlen lassen sich jedoch (mit etwas Mehraufwand) ohne das Fundierungsaxiombeweisen, wenn man die ursprüngliche Definition zugrunde legt.