Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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16.1. DEFINIERBARKEIT 141Es läßt sich nun zeigen 1 , daß tatsächlich eine Klasse OD existiert mit(i) OD ist eine definierbare Klasse mit einer definierbaren Wohlordnung und(ii) OD ist eine definierbare Klasse, welche alle definierbaren Mengen enthältund dadurch ist sie dann eindeutig bestimmt als• OD = die größte definierbare Klasse mit definierbarer Wohlordnung und• OD = die kleinste definierbare Klasse, welche alle definierbaren Mengenenthält.Da On eine definierbare Klasse mit definierbarer Wohlordnung ist, muß ODalle Ordinalzahlen enthalten und damit auch alle V α sowie alle damit definierbarenMengen. Das Problem besteht darin, eine mengentheoretische Definition von ODzu finden. Während der allgemeine Definierbarkeitsbegriff nicht definierbar seinkann (wegen des oben aufgezeigten Widerspruchs), werden wir jedoch zeigen,daß man den Begriff relativ zu einer Menge formalisieren kann. Insbesonderekann man die Menge der in V α definierbaren Elemente definieren; wir bezeichnensie mitD f (V α ) = {x ∈ V α | “x ist in V α definierbar”}und erhalten damit die Klasse der ordinalzahl-definierbaren MengenOD := {x | ∃α x ∈ D f (V α )}.Man kann nun zeigen, daß OD die gewünschten Eigenschaften besitzt. Außerdemgilt:MetatheoremDie Theorie ZF + V = OD ist die schwächste Erweiterung von ZF zu einer Theoriemit der Auswahleigenschaft:jede nicht-leere definierbare Klasse besitzt ein definierbares Element.Elemente von definierbaren Mengen brauchen nicht definierbar zu sein (R isteine definierbare Menge, hat aber überabzählbar-viele Elemente). Man geht daherüber zu der Klasse der erblich-ordinalzahl-definierbaren MengenHOD := {x | TC({x}) ⊆ OD}.1 Myhill-Scott: Ordinal definability. Proc. Symposia in Pure Math., AMS XIII,1 (1971), pp.271-278
16.2. RELATIVE KONSISTENZBEWEISE 142Es ist dannHOD = {x | x ∈ OD ∧ TC(x) ⊆ OD} = {x | x ∈ OD ∧ x ⊆ HOD}.Ferner gilt:• trans(HOD) ∧ HOD ⊆ OD,• OD = HOD ↔ V = HOD ↔ V = OD.Außerdem läßt sich zeigen, daß HOD ein Modell von ZF + AC ist; somit ist dieseTheorie widerspruchsfrei, sofern ZF widerspruchsfrei ist. Wir werden im folgendenjedoch für diese Ergebnisse das GÖDELsche Modell L der konstruktiblenMengen benutzen.16.2 Relative KonsistenzbeweiseDie Widerspruchsfreiheit einer Theorie T weist man gewöhnlich nach, indem maneinen Grundbereich für die Objekte der Theorie und darauf erklärte Relationenund Funktionen angibt, so daß die Axiome der Theorie T gültig sind, also einModell der Theorie aufzeigt. (Man denke etwa an die algebraische Theorie derGruppen oder Körper, oder an die (nicht-)Euklidische Geometrie). Im Falle einermengentheoretischen Theorie T fällt nun auf, daß man ein Modell für eine solcheTheorie über Mengen selbst in einem mengentheoretischen Rahmen, also mitgewissen mengentheoretischen Voraussetzungen angeben muß. Somit können wirnur relative Konsistenzbeweise etwa der FormIst die Theorie ZF widerspruchsfrei, so auch die erweiterte Theorie ZF + ACführen. Tatsächlich besagt der 2. GÖDELsche Unvollständigkeitssatz, daß mandie absolute Widerspruchsfreiheit (Konsistenz) einer genügend ausdrucksstarkenTheorie (wie der Zahlentheorie, aber auch der ZF-Mengenlehre) nicht überzeugendnachweisen kann.Eine weitere Besonderheit einiger relativen Konsistenzbeweise liegt darin, daßman hierfür nicht Mengen, sondern echte Klassen benutzt. Insbesondere für denNachweis der oben erwähnten relativen Konsistenz werden wir Klassen von definierbarenMengen einführen, so daß die zusätzlich gewünschten Eigenschaften(Auswahlaxiom, Kontinuumshypothese) gültig sind, wenn man den Bereich allerMengen auf diese Klassen einschränkt, die Elementbeziehung aber unverändert
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16.2. RELATIVE KONSISTENZBEWEISE 142Es ist dannHOD = {x | x ∈ OD ∧ TC(x) ⊆ OD} = {x | x ∈ OD ∧ x ⊆ HOD}.Ferner gilt:• trans(HOD) ∧ HOD ⊆ OD,• OD = HOD ↔ V = HOD ↔ V = OD.Außerdem läßt sich zeigen, daß HOD ein Modell von ZF + AC ist; somit ist dieseTheorie widerspruchsfrei, sofern ZF widerspruchsfrei ist. Wir werden im folgendenjedoch für diese Ergebnisse das GÖDELsche Modell L der konstruktiblenMengen benutzen.16.2 Relative KonsistenzbeweiseDie Widerspruchsfreiheit einer Theorie T weist man gewöhnlich nach, indem maneinen Grundbereich für die Objekte der Theorie und darauf erklärte Relationenund Funktionen angibt, so daß die Axiome der Theorie T gültig sind, also einModell der Theorie aufzeigt. (Man denke etwa an die algebraische Theorie derGruppen oder Körper, oder an die (nicht-)Euklidische Geometrie). Im Falle einermengentheoretischen Theorie T fällt nun auf, daß man ein Modell für eine solcheTheorie über Mengen selbst in einem mengentheoretischen Rahmen, also mitgewissen mengentheoretischen Voraussetzungen angeben muß. Somit können wirnur relative Konsistenzbeweise etwa der FormIst die Theorie ZF widerspruchsfrei, so auch die erweiterte Theorie ZF + ACführen. Tatsächlich besagt der 2. GÖDELsche Unvollständigkeitssatz, daß mandie absolute Widerspruchsfreiheit (Konsistenz) einer genügend ausdrucksstarkenTheorie (wie der Zahlentheorie, aber auch der ZF-<strong>Mengenlehre</strong>) nicht überzeugendnachweisen kann.Eine weitere Besonderheit einiger relativen Konsistenzbeweise liegt darin, daßman hierfür nicht Mengen, sondern echte Klassen benutzt. Insbesondere für denNachweis der oben erwähnten relativen Konsistenz werden wir Klassen von definierbarenMengen einführen, so daß die zusätzlich gewünschten Eigenschaften(Auswahlaxiom, Kontinuumshypothese) gültig sind, wenn man den Bereich allerMengen auf diese Klassen einschränkt, die Elementbeziehung aber unverändert
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