Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

16.1. DEFINIERBARKEIT 141Es läßt sich nun zeigen 1 , daß tatsächlich eine Klasse OD existiert mit(i) OD ist eine definierbare Klasse mit einer definierbaren Wohlordnung und(ii) OD ist eine definierbare Klasse, welche alle definierbaren Mengen enthältund dadurch ist sie dann eindeutig bestimmt als• OD = die größte definierbare Klasse mit definierbarer Wohlordnung und• OD = die kleinste definierbare Klasse, welche alle definierbaren Mengenenthält.Da On eine definierbare Klasse mit definierbarer Wohlordnung ist, muß ODalle Ordinalzahlen enthalten und damit auch alle V α sowie alle damit definierbarenMengen. Das Problem besteht darin, eine mengentheoretische Definition von ODzu finden. Während der allgemeine Definierbarkeitsbegriff nicht definierbar seinkann (wegen des oben aufgezeigten Widerspruchs), werden wir jedoch zeigen,daß man den Begriff relativ zu einer Menge formalisieren kann. Insbesonderekann man die Menge der in V α definierbaren Elemente definieren; wir bezeichnensie mitD f (V α ) = {x ∈ V α | “x ist in V α definierbar”}und erhalten damit die Klasse der ordinalzahl-definierbaren MengenOD := {x | ∃α x ∈ D f (V α )}.Man kann nun zeigen, daß OD die gewünschten Eigenschaften besitzt. Außerdemgilt:MetatheoremDie Theorie ZF + V = OD ist die schwächste Erweiterung von ZF zu einer Theoriemit der Auswahleigenschaft:jede nicht-leere definierbare Klasse besitzt ein definierbares Element.Elemente von definierbaren Mengen brauchen nicht definierbar zu sein (R isteine definierbare Menge, hat aber überabzählbar-viele Elemente). Man geht daherüber zu der Klasse der erblich-ordinalzahl-definierbaren MengenHOD := {x | TC({x}) ⊆ OD}.1 Myhill-Scott: Ordinal definability. Proc. Symposia in Pure Math., AMS XIII,1 (1971), pp.271-278