Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

140Kapitel 16Innere Modelle16.1 DefinierbarkeitAlle konkreten Beispiele von Mengen sind definierbar: Die leere Menge /0, dieMenge der natürlichen Zahlen ω, die Teilmenge der Primzahlen, die Menge allerstetigen reellen Funktionen, die Zahlen √ 2, e, π die Kardinalzahlen ℵ 1 ,ℵ ω , diekleinste unerreichbare Zahl (sofern sie existiert), usw. Wir wollen eine Mengedefinierbar nennen gdw sie die einzige Menge ist, die eine Formel ϕ(v) erfüllt:ϕ(a) ∧ ∃!x ϕ(x),und eine Klasse A ist definierbar gdw es eine Formel ϕ(v) gibt mitA = {x | ϕ(x)}.(Eine Menge a ist dann auch als Klasse definierbar.)Kann man den Begriff der definierbaren Menge definieren und damit etwa dieMenge der definierbaren Mengen definieren? Da es nur abzählbar-viele Formelngibt, kann es auch nur abzählbar-viele definierbare Mengen geben, insbesonderenur abzählbar-viele Ordinalzahlen, und da die Klasse der Ordinalzahlen nichtabzählbar ist, muß es also eine kleinste nicht-definierbare Ordinalzahl geben - diewir aber gerade definiert haben! Diesen Widerspruch kann man positiv wenden:MetatheoremJede definierbare Klasse mit definierbarer Wohlordnung ist enthalten in jeder definierbarenKlasse, die alle definierbaren Mengen enthält.