Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 138Insbesondere sind die Reflexionsprinzipien CR strans und PRC strans in ZF beweisbar.Wie aus dem Beweis ersichtlich (oder mit der früheren Methode der Kodierungendlich-vieler Formeln durch eine einzige) lassen sich die Reflexionsprinzipienauf den Fall der simultanen Reflexion für endlich-viele Formeln verstärken.Kann man aus ihnen auch ein Reflexionsprinzip für alle Formeln (simultan) erhalten,so daß man eine Ordinalzahl α erhält, die∀x ∈ M α (ϕ M α(x) ↔ ϕ M (x))für alle Formeln ϕ erfüllt? In ZF ist dieses nicht mehr beweisbar (außer ZF istwiderspruchsvoll), aber wenn ZF widerspruchsfrei ist, so auch die Erweiterungzu einer Theorie mit einer zusätzlichen Konstanten α 0 , dem Axiom Ord(α 0 ) unddem Schema∀x ∈ V α0 (ϕ V α 0 (x) ↔ ϕ(x)),wobei ϕ eine beliebige ZF-Formel (ohne die Konstante α 0 ) ist. (Denn ein Beweiseines Widerspruches würde nur endlich-viele Fälle des obigen Schemas benutzen,die aber dann in ZF bereits beweisbar sind.) Im Falle einer Menge M haben wiraber einen Ersatz in der Form eines Satzes von LÖWENHEIM-SKOLEM-TARSKI,den wir hier nur in einer einfachen Form benötigen:15.3.3 Satz von Löwenheim-SkolemEs sei b ⊆ a. Dann existiert ein b 0 mit b ⊆ b 0 ⊆ a, so daß für alle Formeln ϕ gilt:∀x ∈ b 0 (ϕ b 0(x) ↔ ϕ a (x))wofür man auch (b 0 ,∈) ≼ (a,∈) schreibt. Außerdem kann für unendliches b dieMenge b 0 so gewählt werden, daß |b 0 | = |b| ist.Beweis: Wir benötigen das Auswahlaxiom oder (für die spätere Anwendung ausreichend)eine Wohlordnung von a. Damit kann man Funktionen f für jede Formelder Form ∃yψ(y,x) definieren, so daß für alle x ∈ af (x) = y für ein y ∈ a mit ψ a (y,x),falls ein solches existiert (ein beliebiges Element von a sonst). b 0 ist dann derAbschluß von b unter diesen (abzählbar-vielen) Funktionen.□