Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 13715.3.1 Hauptsatz über kumulative und stetige Hierarchien(M α |α ∈ On) sei eine kumulative und stetige Hierarchie von Mengen mit M =⋃α∈On M α . Dann gibt es zu jeder ZF-Formel (im engeren Sinne) ϕ(a) mit denangegebenen freien Variablen eine Normalfunktion F mitF(α) = α → ∀x ∈ M α (ϕ M α(x) ↔ ϕ M (x)).Beweis durch Induktion über den Formelaufbau von ϕ. Dabei können wir uns aufden Fall ϕ = ∃y ψ beschränken. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also eineNormalfunktion G mitG(α) = α → ∀x,y ∈ M α (ψ M α(x,y) ↔ ψ M (x,y)).Wir definieren eine Funktion H durchH(α) = µβ(α < β ∧ ∀x ∈ M α (∃y ∈ M ψ M (x,y) → ∃y ∈ M β ψ M (x,y))und weiterhin durch transfinite Rekursion eine Normalfunktion F mitF(0) = 0,F(α + 1) = H(F(α)),F(λ) = ⋃F(ξ )ξ
15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 138Insbesondere sind die Reflexionsprinzipien CR strans und PRC strans in ZF beweisbar.Wie aus dem Beweis ersichtlich (oder mit der früheren Methode der Kodierungendlich-vieler Formeln durch eine einzige) lassen sich die Reflexionsprinzipienauf den Fall der simultanen Reflexion für endlich-viele Formeln verstärken.Kann man aus ihnen auch ein Reflexionsprinzip für alle Formeln (simultan) erhalten,so daß man eine Ordinalzahl α erhält, die∀x ∈ M α (ϕ M α(x) ↔ ϕ M (x))für alle Formeln ϕ erfüllt? In ZF ist dieses nicht mehr beweisbar (außer ZF istwiderspruchsvoll), aber wenn ZF widerspruchsfrei ist, so auch die Erweiterungzu einer Theorie mit einer zusätzlichen Konstanten α 0 , dem Axiom Ord(α 0 ) unddem Schema∀x ∈ V α0 (ϕ V α 0 (x) ↔ ϕ(x)),wobei ϕ eine beliebige ZF-Formel (ohne die Konstante α 0 ) ist. (Denn ein Beweiseines Widerspruches würde nur endlich-viele Fälle des obigen Schemas benutzen,die aber dann in ZF bereits beweisbar sind.) Im Falle einer Menge M haben wiraber einen Ersatz in der Form eines Satzes von LÖWENHEIM-SKOLEM-TARSKI,den wir hier nur in einer einfachen Form benötigen:15.3.3 Satz von Löwenheim-SkolemEs sei b ⊆ a. Dann existiert ein b 0 mit b ⊆ b 0 ⊆ a, so daß für alle Formeln ϕ gilt:∀x ∈ b 0 (ϕ b 0(x) ↔ ϕ a (x))wofür man auch (b 0 ,∈) ≼ (a,∈) schreibt. Außerdem kann für unendliches b dieMenge b 0 so gewählt werden, daß |b 0 | = |b| ist.Beweis: Wir benötigen das Auswahlaxiom oder (für die spätere Anwendung ausreichend)eine Wohlordnung von a. Damit kann man Funktionen f für jede Formelder Form ∃yψ(y,x) definieren, so daß für alle x ∈ af (x) = y für ein y ∈ a mit ψ a (y,x),falls ein solches existiert (ein beliebiges Element von a sonst). b 0 ist dann derAbschluß von b unter diesen (abzählbar-vielen) Funktionen.□
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