Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 136Menge u, welche also in Bezug auf die Eigenschaft σ ähnlich wie V ist. Die Tatsache,daß (beliebig große) Reflexionsmengen für σ existieren, ist eine neue Eigenschaftσ 1 des Universums V , die man wiederum in sehr vielen Mengen spiegelnkann . . .P. BERNAYS hat gezeigt 1 , daß partielle Reflexionsprinzipien für Formeln mitgebundenen Klassenvariablen sehr starke Folgerungen erlauben. Insbesondere lassensie sich so verstärken, daß die Existenz sehr vieler Reflexionsmengen derForm V α mit unerreichbarem α gefordert wird.15.3 Hierarchiesätze in ZFWir wollen nun umgekehrt in der Theorie ZF ein Reflexionsprinzip in der Form∃α [a ∈ V α ∧ ∀x ∈ V α (ϕ(x) ↔ ϕ V α(x))]beweisen. Tatsächlich gilt dies Ergebnis allgemeinen für viele Hierarchien:DefinitionEine Folge von Mengen (M α |α ∈ On) heißt kumulative und stetige Hierarchiegdw.(H1) ∀α Mg(M α ),(H2) ∀α,β(α < β → M α ⊆ M β ) kumulativ,(H3) ∀λ(Lim(λ) → M λ = ⋃ ξ