Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

15.2. REFLEXION ÜBER KLASSEN 135(und ebenso mit strans statt trans).Beweis: ϕ(a) sei eine Formel (ohne Klassenterme) wie in CR trans . Da wir dasPaarmengenaxiom wie früher erhalten, können wir die zugehörige Klasse der n-TupelA = {(x) | ϕ(x)}bilden und das Reflexionsprinzip auf die Formel∀x,y∃z (z = (x,y)) ∧ ∃x(x = (a)) ∧ ∀x(ϕ(x) ↔ (x) ∈ A)anwenden. Dann erhalten wir eine transitive Menge u, die unter Paarmengenbildungabgeschlossen ist, mit a ∈ u undSatz∀x ∈ u (ϕ u (x) ↔ (x) ∈ A ∩ u), also∀x ∈ u(ϕ u (x) ↔ ϕ u (x)).Das Ersetzungsaxiom erhält man ebenso leicht:S 0 + PRC trans ⊢ ErsSBeweis: Es sei Fkt(F) ∧ a = D(F). Dann gilt also∀x ∈ a∃y(x,y) ∈ F.Anwendung der Reflexion auf diese Formel ϕ(a,F) ergibt die Existenz einerMenge u mit a ⊆ u und∀x ∈ a∃y ∈ u (x,y) ∈ F ∩ u,und somit W(F) ⊆ u. Nun ist also W(F) eine Menge nach dem Aussonderungsschema(welches aufgrund des vorhergehenden Satzes gilt bzw. nach derselbenMethode bewiesen werden kann.□Eine interessante Eigenschaft der Reflexionsprinzipien ist ihre “Selbstverstärkung”:Hat man eine Aussage σ bewiesen, so gilt sie in bereits einer transitiven□