Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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15.1. VOLLSTÄNDIGE REFLEXIONSPRINZIPIEN 133SatzIn T 3 läßt sich CR trans verstärken zur simultanen Anwendung auf endlich-vieleFormeln (und ebenso CR strans in T 4 ):∃u [trans(u) ∧ a ∈ u ∧ ∀x ∈ u ∧(ϕ i (x) ↔ ϕi u (x))](wobei wir der Einfachheit annehmen, daß alle Formeln ϕ i dieselben freie Variablenfolgex enthalten).i
15.2. REFLEXION ÜBER KLASSEN 134Bemerkungen1. Die vollständigen Reflexionsprinzipien lassen sich etwas vereinfachen, indemman a ∈ u durch die Bedingung a ∈ u ersetzt; allerdings ist es dannziemlich aufwendig, das Paarmengenaxiom abzuleiten: Man benutzt dazudie Verallgemeinerung auf endlich-viele Formeln (deswegen wurden dortdie Zahlen nach ZERMELO benutzt, welche man mit dem Einermengenaxiomallein darstellen kann), zeigt etwas aufwendiger das Ersetzungsaxiomund erhält dann erst das Paarmengenaxiom mittels Existenz einer einzigen2-elementigen Menge, auf welche sich alle 2-elementigen Paare abbildenlassen.2. Besonders einfach läßt sich mit den Reflexionsprinzipien die Existenz dertransitiven Hülle sowie (im Falle der vollständigen Reflexion) die Existenzvon Mengen beweisen, die unter einer gegebenen Funktion abgeschlossensind (und damit auch z. B. die Existenz von Fixpunkten).3. Die Theorien T 1 −T 4 sind nicht endlich-axiomatisierbar. Denn sonst könnteman sie durch einen einzigen Satz σ = ∧ i=1,...,n σ i axiomatisieren. DieAnwendung des Reflexionsprinzips auf diesen Satz ergäbe aber die Existenzeines (transitiven) Modells, was dem 2. GÖDELschen Unvollständigkeitssatzwiderspricht. (Im Falle von T 4 kann man auch direkter zu einemWiderspruch gelangen.)15.2 Reflexion über KlassenVollständige Reflexion über Mengen läßt sich in partielle Reflexion leicht einbauen,wenn man (nach P. BERNAYS) eine Sprache mit Klassen benutzt: Wir erlaubenjetzt auch mengentheoretische Formeln mit Klassen A,B... (als freie Klassenvariableoder auch nur wie früher als Metavariable für Klassenterme) und formulierenhierfür die folgenden Axiomenschemata:PRC trans ϕ(a,A) → ∃u[trans(u) ∧ a ∈ u ∧ ϕ u (a,A ∩ u)] bzw.PRC strans ϕ(a,A) → ∃u[strans(u) ∧ a ∈ u ∧ ϕ u (a,A ∩ u)].SatzS 0 + PRC trans ⊢ CR trans
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