Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

14.4. PARTIELLE REFLEXIONSPRINZIPIEN 131Somit ist beweisbar:∃u(u = /0) ∧ ∀x∃y(y = x ∪ {x}).Eine Anwendung von PR trans ergibt die Existenz einer transitiven Menge u mit[∃x(x = /0) ∧ ∀x∃y (y = x ∪ {x})] u , alsoda x = /0 und x ∪ {x} ∆ 0 -Formeln sind./0 ∈ u ∧ ∀x ∈ u∃y ∈ u (x ∪ {x} ∈ u),Zum Beweis des Fundierungsschemas nehmen wir an, daßϕ(a) ∧ ∀x(ϕ(x) → ∃y ∈ x ϕ(y)).Das Reflexionsprinzip liefert dann die Existenz einer transitiven Menge u (mit denParametern von ϕ als Elementen von u und)a ∈ u ∧ ϕ u (a) ∧ (∀x(ϕ(x) → ∃y ∈ x ϕ(y)) u , alsoa ∈ u ∧ ϕ u (a) ∧ ∀x ∈ u(ϕ u (x) → ∃y ∈ x ϕ u (y)).Setzen wir c := {x ∈ u | ϕ u (x)}, so ist dieses eine Menge nach ∆ 0 -AusS, welchedem Fundierungsaxiom widerspricht.Potenzmengenaxiom: Falls für jede Menge a eine stark transitive Menge uexistiert mit a ∈ u, so haben wir die Abschätzung P(a) ⊆ u.□Somit ist die Theorie T 1 eine Erweiterung von KP, und zwar eine echte Erweiterung,da das Unendlichkeitsaxiom in KP nicht beweisbar ist.