Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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14.3. DIE THEORIE KP VON KRIPKE-PLATEK 129d. h. wir haben gezeigt∀x ∈ a∃u∀y ∈ b ∃w ∈ u w = (x,y).Somit existiert wiederum nach ∆ 0 -CollS ein c mit∀x ∈ a∃u ∈ c ∀y ∈ b ∃w ∈ u w = (x,y).Setzen wir nun d := ⋃ c, so erhalten wir:∀x ∈ a∀y ∈ b (x,y) ∈ dund somit a × b ⊆ d. Nun brauchen wir nur noch das ∆ 0 -AusS anzuwenden.□Flexibler als der Begriff der Σ 1 -Formel ist der Begriff der Σ-Formel:DefinitionDie Klasse der Σ-Formeln ist die kleinste Klasse aller Formeln, welche die ∆ 0 -Formeln enthält und abgeschlossen ist unter ∨,∧,∀x ∈ a,∃x ∈ a sowie unter ∃.Π-Formeln sind ähnlich definiert, ∆ T := Σ T ∩ Π T .Somit ist jede Σ 1 -Formel auch eine Σ-Formel, aber z. B. ist für eine ∆ 0 -Formelϕ∀x ∈ a ∃y ∀u ∈ y ϕeine Σ-Formel, aber keine Σ 1 -Formel. Da man im ∆ 0 -AusS offenbar “→” durch“↔” ersetzen kann, ist in KP jede Σ-Formel äquivalent zu einer Σ 1 -Formel.BemerkungenMengen, die durch eine ∆- (bzw. Σ-Formel) definierbar sind, entsprechen denrekursiven (bzw. rekursiv-aufzählbaren) Mengen natürlicher Zahlen. Tatsächlichist die Theorie KP der zulässigen Mengen entwickelt worden, um eine geeignete(mengentheoretische) Verallgemeinerung dieser Begriffe von den Zahlen aufgrößere Bereiche zu erhalten.In KP läßt sich das ∆ 0 -AusS verallgemeinern zum ∆-AusS, das ∆ 0 -CollSzum ∆-CollS, und es gilt ein Ersetzungsaxiom sowie ein Rekursionssatz für Σ-Funktionen. Zu diesen Funktionen, die - wie die rekursiven Funktionen der Zahlentheorie- sehr gute Abschlußeigenschaften besitzen, gehören insbesondere alsodie arithmetischen Operationen auf den Ordinalzahlen. Man kann daher KP auchals eine “effektive” Mengenlehre auffassen. Transitive Mengen A, die (mit dergewöhnlichen ∈-Beziehung) ein Modell von KP bilden, heißen zulässige Mengen(admissible sets); die kleinste zulässige Menge ist HF = V ω .
14.4. PARTIELLE REFLEXIONSPRINZIPIEN 13014.4 Partielle ReflexionsprinzipienWir gehen aus von der folgenden Basistheorie S 0 mit den AxiomenExtensionalitätsaxiom (Ext) ∀x(x ∈ a ↔ x ∈ b) → a = b∆ 0 -Aussonderung (∆ 0 -AusS) ∃y∀z(z ∈ y ↔ x ∈ a ∧ ϕ(x))(ϕ ∆ 0 -Formel)Fundierungsaxiom (Fund) a ≠ /0 → ∃x x ∩ a = /0Hinzunehmen werden wir die folgenden partiellen ReflexionsprinzipienPR trans ϕ(a) → ∃u[trans(u) ∧ a ∈ u ∧ ϕ u (a)] bzw.PR strans ϕ(a) → ∃u[strans(u) ∧ a ∈ u ∧ ϕ u (a)],wobeistrans(a) :↔ trans(a) ∧ ∀y(y ⊆ x ∈ a → y ∈ a)stark transitiv.Diese Axiome besagen, daß jede Eigenschaft, die im Bereich aller Mengengilt, auch im Bereich einer geeigneten Menge gilt. Es seienT 1 := S 0 + PR trans ,T 2 := S 0 + PR stransdie so entstehenden Theorien.Satz(i) In T 1 sind die Axiome Null,Paar,Sum,Un,FundS beweisbar,(ii) in T 2 gilt zusätzlich das Potenzmengenaxiom Pot.Beweis: Das Nullmengenaxiom folgt aus dem ∆ 0 -AusS, für das Paarmengenaxiomwähle in PR trans die Formelϕ(a,b) :↔ a = a ∧ b = b,woraus die Existenz einer Menge u mit a,b ∈ u folgt. {a,b} ist dann also eineMenge nach dem ∆ 0 -AusS. Ebenso liefert PR trans für jede Menge a eine transitiveMenge u mit a ∈ u, also auch ⋃ a ⊆ u, und wir brauchen nur noch ∆ 0 -AusSanzuwenden, um das Summenaxiom zu erhalten.
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14.4. PARTIELLE REFLEXIONSPRINZIPIEN 13014.4 Partielle ReflexionsprinzipienWir gehen aus von der folgenden Basistheorie S 0 mit den AxiomenExtensionalitätsaxiom (Ext) ∀x(x ∈ a ↔ x ∈ b) → a = b∆ 0 -Aussonderung (∆ 0 -AusS) ∃y∀z(z ∈ y ↔ x ∈ a ∧ ϕ(x))(ϕ ∆ 0 -Formel)Fundierungsaxiom (Fund) a ≠ /0 → ∃x x ∩ a = /0Hinzunehmen werden wir die folgenden partiellen ReflexionsprinzipienPR trans ϕ(a) → ∃u[trans(u) ∧ a ∈ u ∧ ϕ u (a)] bzw.PR strans ϕ(a) → ∃u[strans(u) ∧ a ∈ u ∧ ϕ u (a)],wobeistrans(a) :↔ trans(a) ∧ ∀y(y ⊆ x ∈ a → y ∈ a)stark transitiv.Diese Axiome besagen, daß jede Eigenschaft, die im Bereich aller Mengengilt, auch im Bereich einer geeigneten Menge gilt. Es seienT 1 := S 0 + PR trans ,T 2 := S 0 + PR stransdie so entstehenden Theorien.Satz(i) In T 1 sind die Axiome Null,Paar,Sum,Un,FundS beweisbar,(ii) in T 2 gilt zusätzlich das Potenzmengenaxiom Pot.Beweis: Das Nullmengenaxiom folgt aus dem ∆ 0 -AusS, für das Paarmengenaxiomwähle in PR trans die Formelϕ(a,b) :↔ a = a ∧ b = b,woraus die Existenz einer Menge u mit a,b ∈ u folgt. {a,b} ist dann also eineMenge nach dem ∆ 0 -AusS. Ebenso liefert PR trans für jede Menge a eine transitiveMenge u mit a ∈ u, also auch ⋃ a ⊆ u, und wir brauchen nur noch ∆ 0 -AusSanzuwenden, um das Summenaxiom zu erhalten.
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