Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

14.2. RELATIVIERUNG 1273. Die wichtigsten elementaren mengentheoretischen Begriffe (BOOLEscheAlgebra, Relationen- und Funktionenkalkül, Ordinalzahltheorie) sind ∆ 0 -oder zumindest ∆ Paar0 -Formeln:a = b, a = /0, a ⊆ b, a = b ∩ c, a = b ∪ c, a = ⋂ b, a = ⋃ b,a = {b,c}, a = (b,c), Rel(r), a = D( f ), b = W( f ),Fkt( f ), f : a → b, c = a × b,< lineare Ordnung auf a,...Ord(a), Lim(a), N f (a),a ∈ ω ...4. Dagegen führen die Potenzmengenoperation sowie kardinale Begriffe meistenszu komplizierteren Formeln:Σ 1 -Formeln sind:∃x(x = ω), a ∼ b, a ist abzählbar,Π 1 -Formeln sind: a = P(b), Card(a),< Wohlordnung auf a.∃x(x = ω) ist natürlich in ZF beweisbar, aber die übrigen Formeln lassensich selbst in ZFC nicht in ∆ 0 -Formeln umformen!14.2 RelativierungDie Formel ϕ a entsteht aus ϕ, indem man jeden Quantor Qx in der Formel ϕdurch den beschränkten Quantor Qx ∈ a ersetzt. (Dabei ist darauf zu achten, daßgegebenenfalls definierte Begriffe bzw. Abkürzungen durch die ursprünglichenAusdrücke der formalen ZF-Sprache zu ersetzen sind!) Wir lesenϕ a als: ϕ relativiert nach a.Liest man ϕ als eine Aussage über den Bereich aller Mengen, so ist ϕ a dieentsprechende Aussage über die Elemente von a. Die Bedeutung der ∆ 0 -Formelnliegt darin, daß sie für transitive Mengen a in beiden Fällen dasselbe besagen(absolut sind):Satz(i) (Absolutheit von ∆ 0 -Formeln): Ist ϕ(a) eine ∆ 0 -Formel, so gilt:trans(a) ∧ a ∈ a → [ϕ(a) ↔ ϕ a (a)],