Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

14.1. DIE LEVY-HIERARCHIE DER MENGENTHEORETISCHEN FORMELN 126Zur Vereinfachung werden wir auch endliche Variablenfolgen mit überstrichenenVariablen bezeichnen:∃x steht für ∃x 1 ...∃x m ,x ∈ a steht für x 1 ∈ a ∧ ... ∧ x m ∈ a,∃x ∈ a steht für ∃x 1 ∈ a...∃x m ∈ a,und entsprechend für den ∀-Quantor.Die obige Klassifizierung gilt nur für pränexe Formeln (in welchen alle - zumindestdie unbeschränkten - Quantoren am Anfang der Formel stehen), aber mankann leicht jede mengentheoretische Formel zu einer logisch äquivalenten pränexenFormel umformen. Daher werden wir Formeln, die logisch äquivalent sind,bei dieser Klassifizierung nicht unterscheiden (eine Σ 3 -Formel ist damit dann aucheine Π 17 -Formel). Gelegentlich zieht man aber zur Umformung auch mengentheoretischeAxiome heran; ist T eine Theorie, also bestimmt durch ihre Axiome,so sei auchΣ T n die Menge aller Formeln, die in T äquivalent sind zu einer Σ n -Formel,Π T n die Menge aller Formeln, die in T äquivalent sind zu einer Π n -Formel,und ∆ T n := Σ T n ∩ Π T n , d. h. eine ∆ T n- Formel ist in v äquivalent sowohl zu einer Σ n -wie auch zu einer Π n -Formel.Bemerkungen und Beispiele1. Unter Voraussetzung des Paarmengenaxioms können mehrere gleichartigeQuantoren zusammengezogen werden:∃x∃yϕ ↔ ∃z∃x ∈ z∃y ∈ zϕund ähnlich für ∀-Quantoren. Somit kann man Σ 1 -Formeln auch charakterisierenals Formeln, die mit nur einem ∃-Quantor beginnen und dann nurnoch beschränkte Quantoren enthalten.2. Wegen∃x ∈ ⋃ a... ↔ ∃y ∈ a∃x ∈ a...können auch ∃x ∈ ⋃ a,∃x ∈ ⋃⋃ a,∀x ∈ ⋃ a... als beschränkte Quantorenaufgefaßt werden, nicht aber ∃x ∈ P(a)!