Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
125Kapitel 14Partielle Reflexion14.1 Die Levy-Hierarchie der mengentheoretischen FormelnAm Anfang hatten wir bereits beschränkte Quantoren ∀x ∈ a, ∃x ∈ a eingeführtals Abkürzungen:∀x ∈ aϕ steht für ∀x(x ∈ a → ϕ),∃x ∈ aϕ steht für ∃x(x ∈ a ∧ ϕ).Im Folgenden betrachten wir nur Formeln der engeren ZF-Sprache, also ohneKlassenterme (die sich ja notfalls eliminieren lassen). Diese Formeln werden nachA. LEVY 1965 gemäß ihrer Komplexität klassifiziert:Definitionϕ ist ∆ 0 -Formel: ⇐⇒ ϕ enthält höchstens beschränkte Quantorenϕ ist Σ 1 -Formel: ⇐⇒ ϕ = ∃x 1 ...∃x m ψ für eine ∆ 0 -Formel ψϕ ist Π 1 -Formel: ⇐⇒ ϕ = ∀x 1 ...∀x m ψ für eine ∆ 0 -Formel ψAllgemeiner gilt (mit ∆ 0 = Σ 0 = Π 0 ):Σ n+1 -Formeln sind von der Form ∃x 1 ...∃x m ψ für eine Π n -Formel ψ,Π n+1 -Formeln sind von der Form ∀x 1 ...∀x m ψ für eine Σ n -Formel ψ.
14.1. DIE LEVY-HIERARCHIE DER MENGENTHEORETISCHEN FORMELN 126Zur Vereinfachung werden wir auch endliche Variablenfolgen mit überstrichenenVariablen bezeichnen:∃x steht für ∃x 1 ...∃x m ,x ∈ a steht für x 1 ∈ a ∧ ... ∧ x m ∈ a,∃x ∈ a steht für ∃x 1 ∈ a...∃x m ∈ a,und entsprechend für den ∀-Quantor.Die obige Klassifizierung gilt nur für pränexe Formeln (in welchen alle - zumindestdie unbeschränkten - Quantoren am Anfang der Formel stehen), aber mankann leicht jede mengentheoretische Formel zu einer logisch äquivalenten pränexenFormel umformen. Daher werden wir Formeln, die logisch äquivalent sind,bei dieser Klassifizierung nicht unterscheiden (eine Σ 3 -Formel ist damit dann aucheine Π 17 -Formel). Gelegentlich zieht man aber zur Umformung auch mengentheoretischeAxiome heran; ist T eine Theorie, also bestimmt durch ihre Axiome,so sei auchΣ T n die Menge aller Formeln, die in T äquivalent sind zu einer Σ n -Formel,Π T n die Menge aller Formeln, die in T äquivalent sind zu einer Π n -Formel,und ∆ T n := Σ T n ∩ Π T n , d. h. eine ∆ T n- Formel ist in v äquivalent sowohl zu einer Σ n -wie auch zu einer Π n -Formel.Bemerkungen und Beispiele1. Unter Voraussetzung des Paarmengenaxioms können mehrere gleichartigeQuantoren zusammengezogen werden:∃x∃yϕ ↔ ∃z∃x ∈ z∃y ∈ zϕund ähnlich für ∀-Quantoren. Somit kann man Σ 1 -Formeln auch charakterisierenals Formeln, die mit nur einem ∃-Quantor beginnen und dann nurnoch beschränkte Quantoren enthalten.2. Wegen∃x ∈ ⋃ a... ↔ ∃y ∈ a∃x ∈ a...können auch ∃x ∈ ⋃ a,∃x ∈ ⋃⋃ a,∀x ∈ ⋃ a... als beschränkte Quantorenaufgefaßt werden, nicht aber ∃x ∈ P(a)!
- Seite 81 und 82: 10.3. MAXIMUMSPRINZIPIEN VON ZORN U
- Seite 83 und 84: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 85 und 86: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 87 und 88: 10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
- Seite 89 und 90: 82Teil IVDie Größe der Mengen
- Seite 91 und 92: 11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
- Seite 93 und 94: 11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
- Seite 95 und 96: 11.3. SATZ VON CANTOR-SCHRÖDER-BER
- Seite 97 und 98: 11.5. SATZ VON CANTOR 9011.5 Satz v
- Seite 99 und 100: 11.7. KARDINALZAHLEN 92BemerkungSet
- Seite 101 und 102: 11.8. OPERATIONEN AUF DEN KARDINALZ
- Seite 103 und 104: 11.9. SATZ VON HESSENBERG 96Für α
- Seite 105 und 106: 12.2. DIE CANTORSCHE KONTINUUMSHYPO
- Seite 107 und 108: 12.3. EINIGE TOPOLOGISCHE BEGRIFFE
- Seite 109 und 110: 12.4. SATZ ÜBER PERFEKTE MENGEN 10
- Seite 111 und 112: 12.5. DER SATZ VON CANTOR-BENDIXSON
- Seite 113 und 114: 12.6. DIE BORELSCHEN MENGEN 10612.6
- Seite 115 und 116: 12.7. VERSPIELTE MENGEN 10812.7 Ver
- Seite 117 und 118: 110Kapitel 13Potenzen von Kardinalz
- Seite 119 und 120: 13.1. UNENDLICHE SUMMEN UND PRODUKT
- Seite 121 und 122: 13.2. SATZ VON KÖNIG-JOURDAIN 1142
- Seite 123 und 124: 13.3. EINGESCHRÄNKTE POTENZMENGENO
- Seite 125 und 126: 13.5. EIGENSCHAFTEN REGULÄRER KARD
- Seite 127 und 128: 13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
- Seite 129 und 130: 13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN
- Seite 131: 124Teil VReflexionen über Mengen
- Seite 135 und 136: 14.3. DIE THEORIE KP VON KRIPKE-PLA
- Seite 137 und 138: 14.4. PARTIELLE REFLEXIONSPRINZIPIE
- Seite 139 und 140: 132Kapitel 15Vollständige Reflexio
- Seite 141 und 142: 15.2. REFLEXION ÜBER KLASSEN 134Be
- Seite 143 und 144: 15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 136Men
- Seite 145 und 146: 15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 138Ins
- Seite 147 und 148: 140Kapitel 16Innere Modelle16.1 Def
- Seite 149 und 150: 16.2. RELATIVE KONSISTENZBEWEISE 14
- Seite 151 und 152: 16.3. GÖDELISIERUNG 144Beispiele1.
- Seite 153 und 154: 16.3. GÖDELISIERUNG 146wobei man a
- Seite 155 und 156: 16.4. CHARAKTERISIERUNG INNERER ZF-
- Seite 157 und 158: 16.4. CHARAKTERISIERUNG INNERER ZF-
- Seite 159 und 160: 152Kapitel 17Konstruktible Mengen17
- Seite 161 und 162: 17.3. EINE DEFINIERBARE WOHLORDNUNG
- Seite 163 und 164: 17.4. DAS KONDENSATIONSLEMMA 156Sat
- Seite 165 und 166: 17.5. DAS COHENSCHE MINIMALMODELL 1
- Seite 167 und 168: 17.7. RELATIVE KONSTRUKTIBILITÄT 1
- Seite 169 und 170: 162Kapitel 18Große KardinalzahlenW
- Seite 171 und 172: 18.2. GROSSE UNENDLICHE ZAHLEN 164
- Seite 173 und 174: 18.3. IDEALE UND FILTER 166was wege
- Seite 175 und 176: 18.3. IDEALE UND FILTER 1687. Für
- Seite 177 und 178: 18.4. MAHLOSCHE ZAHLEN 170MAHLOsche
- Seite 179 und 180: 18.5. MESSBARE ZAHLEN 172das Einhei
- Seite 181 und 182: 18.5. MESSBARE ZAHLEN 174• ist κ
125Kapitel 14Partielle Reflexion14.1 Die Levy-Hierarchie der mengentheoretischen FormelnAm Anfang hatten wir bereits beschränkte Quantoren ∀x ∈ a, ∃x ∈ a eingeführtals Abkürzungen:∀x ∈ aϕ steht für ∀x(x ∈ a → ϕ),∃x ∈ aϕ steht für ∃x(x ∈ a ∧ ϕ).Im Folgenden betrachten wir nur Formeln der engeren ZF-Sprache, also ohneKlassenterme (die sich ja notfalls eliminieren lassen). Diese Formeln werden nachA. LEVY 1965 gemäß ihrer Komplexität klassifiziert:Definitionϕ ist ∆ 0 -Formel: ⇐⇒ ϕ enthält höchstens beschränkte Quantorenϕ ist Σ 1 -Formel: ⇐⇒ ϕ = ∃x 1 ...∃x m ψ für eine ∆ 0 -Formel ψϕ ist Π 1 -Formel: ⇐⇒ ϕ = ∀x 1 ...∀x m ψ für eine ∆ 0 -Formel ψAllgemeiner gilt (mit ∆ 0 = Σ 0 = Π 0 ):Σ n+1 -Formeln sind von der Form ∃x 1 ...∃x m ψ für eine Π n -Formel ψ,Π n+1 -Formeln sind von der Form ∀x 1 ...∀x m ψ für eine Σ n -Formel ψ.
Change language