Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
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13.2. SATZ VON KÖNIG-JOURDAIN 11313.2 Satz von König-Jourdain(i) ∀x ∈ a (a x ≺ b x ) → ⋃ x∈a a x ≺ ∏ x∈a b x ,bzw.(ii) ∀x ∈ a (κ x < λ x ) → ⊕ x∈a κ x < ⊗ x∈a λ x .Beweis: Es seien also κ x ,λ x Kardinalzahlen mit ∀x ∈ a (κ x < λ x ). Wir setzenb := ⋃ x∈a(κ x × {x}), c := ∏x∈aλ xund müssen zeigen: b ≺ c. Da b ≼ c nach der Methode des vorausgegangenenSatzes gezeigt werden kann, müssen wir nur noch b ≁ c nachweisen, was - wiebeim Satz von CANTOR 11.5 - indirekt erfolgt:Angenommen, es wäre f : b → c. Dann wird gelten, daß f nicht surjektiv seinkann, es also ein h ∈ c gibt mit h ∉ W( f ). Nun ist aberW( f ) = { f (z) | z ∈ b} = { f (β,x) | x ∈ a ∧ β < κ x },und wir werden mittels eines Diagonalargumentes ein h finden, so daß h ∈ c, aber(∗)∀x ∈ a ∀β < κ x h(x) ≠ f (β,x)(x).Dazu bemerken wir, daß für jedes x ∈ a nach 11.6insbesondere|{ f (β,x)(x)|β < κ x }| ≤ κ x < λ x ,λ x − { f (β,x)(x) | β < κ x } ̸= /0.Das gesuchte h ∈ ∏ x∈a λ x mit der Eigenschaft (*) können wir also definieren durchBemerkungenh(x) = µγ(γ ∈ λ x − { f (β,x)(x) | β < κ x }) für x ∈ a.1. Der Beweis des Satzes von KÖNIG-JOURDAIN ( KÖNIG 1905, ZERMELO1908) benutzt das Auswahlaxiom, was unvermeidbar ist, denn für a x = 0erhalten wir aus diesem Satz:und damit das Auswahlaxiom.∀x ∈ a (0 ≺ b x ) → 0 ≺ ∏x∈ab x□
13.2. SATZ VON KÖNIG-JOURDAIN 1142. Für den Spezialfall a x = 1,b x = 2 erhält man⊕1 < ⊗ 2, d. h. |a| < |2 a |x∈a x∈aund damit den Satz von CANTOR 11.5.3. Als Korollar erhält man auch das folgende Monotoniegesetz für aufsteigendeFolgen von Kardinalzahlen:KorollarEs sei Lim(λ) ∧ ∀ξ ,η < λ (ξ < η → 0 < κ ξ < κ η ). Dann gilt:⊕Hausdorffsche Rekursionsformelξ
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13.2. SATZ VON KÖNIG-JOURDAIN 1142. Für den Spezialfall a x = 1,b x = 2 erhält man⊕1 < ⊗ 2, d. h. |a| < |2 a |x∈a x∈aund damit den Satz von CANTOR 11.5.3. Als Korollar erhält man auch das folgende Monotoniegesetz für aufsteigendeFolgen von Kardinalzahlen:KorollarEs sei Lim(λ) ∧ ∀ξ ,η < λ (ξ < η → 0 < κ ξ < κ η ). Dann gilt:⊕Hausdorffsche Rekursionsformelξ
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