Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre
1.1. ORDNUNGEN 5Weise aufzählen? Tatsächlich ergeben sich Widersprüche, wenn man allzu naivversucht, Eigenschaften von endlichen auf unendliche Mengen zu übertragen;trotzdem kann man aber die Theorie der Wohlordnungen und der Ordinalzahleneinheitlich für endliche und unendliche Mengen begründen. Hier setzen wirzunächst einen intuitiven Mengenbegriff voraus (eine formale Begründung werdenwir später nachliefern) und erinnern an die in der Mathematik üblichen Ordnungsbegriffe:1.1 Ordnungen1. Eine (reflexive) teilweise Ordnung auf einer Menge A ist eine 2-stelligeRelation ≤ auf A, so daß für alle a,b,c ∈ A:(a) a ≤ a reflexiv,(b) a ≤ b ∧ b ≤ a → a = b antisymmetrisch,(c) a ≤ b ∧ b ≤ c → a ≤ c transitiv.2. Eine (reflexive) lineare Ordnung auf A ist eine teilweise Ordnung auf A,so daß für alle a,b ∈ A:(d) a ≤ b ∨ b ≤ a vergleichbar (connex).3. Eine (irreflexive) teilweise Ordnung auf einer Menge A ist eine 2-stelligeRelation < auf A, so daß für alle a,b,c ∈ A:(a’) a ≮ a irreflexiv,(c’) a < b ∧ b < c → a < c transitiv.4. Eine (irreflexive) lineare Ordnung auf A ist eine teilweise Ordnung auf A,so daß für alle a,b ∈ A:(d’) a < b ∨ a = b ∨ b < a vergleichbar (connex).Definiert mana < b :↔ a ≤ b ∧ a ≠ b,so erhält man aus einer reflexiven (teilweisen) Ordnung ≤ eine irreflexive (teilweise)Ordnung
1.1. ORDNUNGEN 6aus einer irreflexiven (teilweisen) Ordnung < wieder eine reflexive (teilweise)Ordnung ≤ (und bei wiederholter Operation die alte Ordnung zurück).Eine teilweise Ordnung nennt man manchmal auch eine partielle (oder Halb-)Ordnung, eine lineare Ordnung auch einfach Ordnung. Die gewöhnlichen Ordnungenauf den natürlichen, den ganzen, den rationalen und den reellen Zahlensind offenbar lineare Ordnungen; die Relationf < g :↔ ∀x ∈ R f (x) < g(x)auf den reellen Funktionen ist dagegen nur eine teilweise Ordnung.Die natürlichen Zahlen lassen sich der Größe nach aufzählen, aber für die anderenZahlbereiche ist dies nicht möglich; selbst wenn man noch −∞ als “kleinsteZahl” hinzunimmt, gibt es keine nächstgrößere (und bei dichten Ordnungen wieden rationalen Zahlen gibt es zu überhaupt keiner Zahl eine nächstgrößere). Umdiese Bereiche in der Form {a 0 ,a 1 ,...a n ,a n+1 ...} aufzuzählen, müssen wir sieauf solche Weise neu ordnen, daß man mit(i) einem kleinsten Element beginnen kann,und wenn man in der Aufzählung zu einem Element gekommen ist,(ii) weiß, mit welchem Element man fortfahren kann, und schließlich(iii) auch den Aufzählungsprozeß fortsetzen kann, wenn man bereits eine unendlicheTeilfolge von Elementen aufgezählt hat (aber noch nicht alles aufgezähltist).Diese Anforderungen kann man präzisieren und zugleich vereinheitlichen, indemman verlangt, daß jede nicht-leere Teilmenge (nämlich der Rest der nochnicht aufgezählten Elemente) ein kleinstes Element enthält (welches als “nächstes”aufzuzählen ist):5. Eine Wohlordnung auf einer Menge A ist eine (irreflexive) lineare Ordnungauf A, welche zusätzlich die Minimalitätsbedingung(Min) ∀z (/0 ≠ z ⊆ A → ∃x ∈ z ∀y ∈ z y ≮ x)erfüllt, welche wegen der Vergleichbarkeit (d’) äquivalent ist zur Existenzeines kleinsten Elementes:(Kl)∀z (/0 ≠ z ⊆ A → ∃x ∈ z ∀y ∈ z x ≤ y),wobei wie oben x ≤ y :↔ x < y ∨ x = y.
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1.1. ORDNUNGEN 5Weise aufzählen? Tatsächlich ergeben sich Widersprüche, wenn man allzu naivversucht, Eigenschaften von endlichen auf unendliche Mengen zu übertragen;trotzdem kann man aber die Theorie der Wohlordnungen und der Ordinalzahleneinheitlich für endliche und unendliche Mengen begründen. Hier setzen wirzunächst einen intuitiven Mengenbegriff voraus (eine formale Begründung werdenwir später nachliefern) und erinnern an die in der Mathematik üblichen Ordnungsbegriffe:1.1 Ordnungen1. Eine (reflexive) teilweise Ordnung auf einer Menge A ist eine 2-stelligeRelation ≤ auf A, so daß für alle a,b,c ∈ A:(a) a ≤ a reflexiv,(b) a ≤ b ∧ b ≤ a → a = b antisymmetrisch,(c) a ≤ b ∧ b ≤ c → a ≤ c transitiv.2. Eine (reflexive) lineare Ordnung auf A ist eine teilweise Ordnung auf A,so daß für alle a,b ∈ A:(d) a ≤ b ∨ b ≤ a vergleichbar (connex).3. Eine (irreflexive) teilweise Ordnung auf einer Menge A ist eine 2-stelligeRelation < auf A, so daß für alle a,b,c ∈ A:(a’) a ≮ a irreflexiv,(c’) a < b ∧ b < c → a < c transitiv.4. Eine (irreflexive) lineare Ordnung auf A ist eine teilweise Ordnung auf A,so daß für alle a,b ∈ A:(d’) a < b ∨ a = b ∨ b < a vergleichbar (connex).Definiert mana < b :↔ a ≤ b ∧ a ≠ b,so erhält man aus einer reflexiven (teilweisen) Ordnung ≤ eine irreflexive (teilweise)Ordnung
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