Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

110Kapitel 13Potenzen von KardinalzahlenFür Kardinalzahlen, die ja auch zugleich Ordinalzahlen sind, sind sowohl ordinalewie kardinale Operationen definiert. Diese Unterscheidung ist besonders wichtigim Falle der Potenzen, da z. B.2 ω = ω (ordinale Potenz), während 2 ω > ω (kardinale Potenz).Im Falle der Kardinalzahlen, insbesondere in der Alephschreibweise, soll die Potenzoperationim folgenden stets die kardinale Potenz darstellen (wenn nicht anderesvermerkt wird).Aus dem Satz von HESSENBERG 11.9 folgen einige einfache Abschätzungenfür die Potenzen:Satz von BernsteinBeweis: Es ist2 ≤ κ ≤ ℵ α → 2 ℵ α= κ ℵ α= ℵ ℵ αα , d.h.β ≤ α → 2 ℵ α= ℵ ℵ αβ= ℵ ℵ αα .2 ≤ κ ≤ ℵ α → 2 ℵ α≤ κ ℵ α≤ ℵ ℵ αα ≤ (2 ℵ α) ℵ α= 2 ℵ α⊙ℵ α= 2 ℵ α,so daß hier überall die Gleichheit gelten muß.□13.1 Unendliche Summen und ProdukteMit Hilfe unendlicher Summen und Produkte werden wir eine (und praktisch dieeinzige) Ungleichheit in der Theorie der Kardinalzahlen erhalten, ausgedrückt im