Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

12.5. DER SATZ VON CANTOR-BENDIXSON 105Wäre auch A α+1 ∩ I n ≠ /0 für alle n ∈ N x , so wäre x Häufungspunkt von A α+1und damit x ∈ A α+1 wegen der Abgeschlossenheit von A α+1 , im Widerspruch zurWahl von x! Also muß es ein n ∈ N x ⊆ N α geben mit n ∉ N α+1 , folglich ist alsodie Folge der N α echt absteigend.Definieren wir nun für α < βg(α) = µn(n ∈ N α − N α+1 ),so erhalten wir eine injektive Abbildung g : β ↣ ω, also muß β abzählbar sein.□Satz von Cantor-BendixsonFür jede abgeschlossene Menge F ⊆ R gibt es eine eindeutige ZerlegungF = P ∪ A, P ∩ A = /0 mit(i) P ist perfekt, A ist abzählbar,(ii) P = F α für ein abzählbares α.Beweis: Wir setzenα ∗ := µα(F α = F α+1 ), P := F α∗ .Dann ist nach dem obigen Lemma α ∗ abzählbar und P offenbar perfekt. Für jedesα < α ∗ ist die Restmenge A α := F α − F α+1 der isolierten Punkte von F αabzählbar und damit auchA := ⋃α