Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

12.5. DER SATZ VON CANTOR-BENDIXSON 104LemmaFür M ⊆ R,α > 0 gilt:(i) M α ist abgeschlossen,(ii) M α ⊇ M α+1 .Somit erhalten wir eine absteigende FolgeM 1 ⊇ M 2 ⊇ ... ⊇ M α ⊇ M α+1 ....Da M eine Menge ist, die Ordinalzahlen aber eine echte Klasse bilden, mußdieser Prozeß einmal stoppen, so daß alle M α ab einem α konstant sind. Daskleinste derartige α heißt Cantor-Bendixson-Rang von M und das zugehörigeM α (das wegen M α = M α+1 = (M α ) ′ perfekt ist), der perfekte Kern von M.Man kann zeigen, daß es für jede abzählbare Ordinalzahl α eine Menge reellerZahlen mit CANTOR-BENDIXSON-Rang α gibt; umgekehrt werden wir zeigen,daß der CANTOR-BENDIXSON-Rang jeder Menge reeller Zahlen abzählbar ist.Es gibt absteigende Folgen von Mengen reeller Zahlen mit einer überabzählbarenLänge. Dagegen sind absteigende Folgen von abgeschlossenen Mengen höchstensabzählbar:LemmaEs sei (A ξ |ξ < β) eine Folge abgeschlossener Mengen mit A 0 ⊃ A 1 ⊃ ...A ξ ⊃ ....Dann ist β abzählbar.(Wir können dann auch schreiben: β < ω 1 , wobei ω 1 := {ξ | ξ abzählbar} = ℵ 1die erste überabzählbare Ordinalzahl ist).Beweis: Wir benutzen wieder eine Abzählung I 0 ,I 1 ,...I n ... aller nicht-leeren Intervallemit rationalen Endpunkten und definieren für jedes α < β eine Mengenatürlicher ZahlenN α := {n ∈ N|I n ∩ A α ≠ /0}.Damit erhalten wir eine absteigende Folge von Mengen natürlicher Zahlen:N 0 ⊃ N 1 ⊃ ...N n ⊃ ... :Für α < γ < β ist offenbar N γ ⊆ N α . Wegen A α+1 ⊂ A α gibt es ein x ∈ A α −A α+1 ,und es istN x := {n ∈ N | x ∈ I n } ⊆ N α .