Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

12.4. SATZ ÜBER PERFEKTE MENGEN 101Die Ableitung M ′ entsteht also aus M, indem man einerseits die isoliertenPunkte wegläßt und andererseits die Ränder von M hinzunimmt. Eine abgeschlosseneMenge enthält alle ihre Häufungspunkte, eine in sich dichte Menge hat keineisolierten Punkte. (Die rationalen Zahlen Q wie auch die Irrationalzahlen sind insich dichte Teilmengen der reellen Zahlen, aber weder offen noch abgeschlossen.)Perfekte Mengen enthalten also ihre Häufungspunkte und haben keine isoliertenPunkte, die einfachsten perfekten Mengen sind die abgeschlossenen Intervalle,während eine konvergente Folge zusammen mit ihrem Grenzwert zwarabgeschlossen, nicht aber perfekt ist.Eine weniger triviale perfekte Menge ist die CANTOR-Menge (das CANTORscheDiskontinuum), welches aus dem abgeschlossenen Einheitsintervall [0,1]entsteht, indem man jeweils die inneren offenen Drittel entfernt:C 0 = [0,1], C 1 = [0, 1/3] ∪ [2/3,1] ..., D = ⋂ n