Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

12.3. EINIGE TOPOLOGISCHE BEGRIFFE 10012.3 Einige topologische BegriffeWir haben oben bereits einige einfache topologische Begriffe metrischer Räumebenutzt und tragen die Definitionen mit einigen Ergänzungen nach:DefinitionFür reelle Zahlen ε,a mit ε > 0 und eine Menge reeller Zahlen M ⊆ R sei1. U ε (a) := {x ∈ R | a − ε < x < a + ε} die (offene) ε-Umgebung von a,2. a ist Berührpunkt von M :↔ ∀ε > 0 |U ε (a) ∩ M| > 0,3. a ist Häufungspunkt von M :↔ ∀ε > 0 |U ε (a) ∩ M| > 1,4. a ist Kondensationspunkt von M :↔ ∀ε > 0 |U ε (a) ∩ M| > ℵ 0 .Für einen Berührpunkt a einer Menge M enthält also jede Umgebung des Punktesa mindestens einen Punkt von M, insbesondere sind alle Punkte von M selbstBerührpunkte, aber auch die Endpunkte eines offenen Intervalls sind Berührpunkte.Im Falle eines Häufungspunktes muß in jeder Umgebung mindestens ein weitererPunkt von M liegen, und wenn man diese Umgebungen verkleinert, ebenfallsein weiterer, so daß in der Umgebung eines Häufungspunktes unendlich-vielePunkte von M liegen. (Punkte, die nicht Häufungspunkte sind, heißen isoliertePunkte.) Der Grenzwert 0 der Folge 1,2 1, 1 3... ist Häufungspunkt, aber kein Kondensationspunktder Menge der Folgenglieder, während Endpunkte eines IntervallsKondensationspunkte sind.5. M := {x ∈ R | x Berührpunkt von M} abgeschlossene Hülle von M,M ′ := {x ∈ R | x Häufungspunkt von M} Ableitung von M,also M = M ∪ M ′ .6. M abgeschlossen: ↔ M = M ↔ M ′ ⊆ M,M offen: ↔ R − M abgeschlossen,7. M in sich dicht: ↔ M ⊆ M ′ ,8. M perfekt: ↔ M = M ′ .