Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

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12.2. DIE CANTORSCHE KONTINUUMSHYPOTHESE 99ihnen nicht beweisbar (COHEN 1963) und somit unabhängig von den Axiomenvon ZF + AC.CH besagt, daß die Mächtigkeit der reellen Zahlen nach dem Abzählbarendie nächst-größere Kardinalzahl ist. Um CH zu widerlegen, müßte man also eineMenge reeller Zahlen angeben, die überabzählbar, aber noch von Mächtigkeit
12.3. EINIGE TOPOLOGISCHE BEGRIFFE 10012.3 Einige topologische BegriffeWir haben oben bereits einige einfache topologische Begriffe metrischer Räumebenutzt und tragen die Definitionen mit einigen Ergänzungen nach:DefinitionFür reelle Zahlen ε,a mit ε > 0 und eine Menge reeller Zahlen M ⊆ R sei1. U ε (a) := {x ∈ R | a − ε < x < a + ε} die (offene) ε-Umgebung von a,2. a ist Berührpunkt von M :↔ ∀ε > 0 |U ε (a) ∩ M| > 0,3. a ist Häufungspunkt von M :↔ ∀ε > 0 |U ε (a) ∩ M| > 1,4. a ist Kondensationspunkt von M :↔ ∀ε > 0 |U ε (a) ∩ M| > ℵ 0 .Für einen Berührpunkt a einer Menge M enthält also jede Umgebung des Punktesa mindestens einen Punkt von M, insbesondere sind alle Punkte von M selbstBerührpunkte, aber auch die Endpunkte eines offenen Intervalls sind Berührpunkte.Im Falle eines Häufungspunktes muß in jeder Umgebung mindestens ein weitererPunkt von M liegen, und wenn man diese Umgebungen verkleinert, ebenfallsein weiterer, so daß in der Umgebung eines Häufungspunktes unendlich-vielePunkte von M liegen. (Punkte, die nicht Häufungspunkte sind, heißen isoliertePunkte.) Der Grenzwert 0 der Folge 1,2 1, 1 3... ist Häufungspunkt, aber kein Kondensationspunktder Menge der Folgenglieder, während Endpunkte eines IntervallsKondensationspunkte sind.5. M := {x ∈ R | x Berührpunkt von M} abgeschlossene Hülle von M,M ′ := {x ∈ R | x Häufungspunkt von M} Ableitung von M,also M = M ∪ M ′ .6. M abgeschlossen: ↔ M = M ↔ M ′ ⊆ M,M offen: ↔ R − M abgeschlossen,7. M in sich dicht: ↔ M ⊆ M ′ ,8. M perfekt: ↔ M = M ′ .
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Skriptum zur VorlesungMengenlehreKl
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INHALTSVERZEICHNISiiInhaltsverzeich
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INHALTSVERZEICHNISivIV Die Größe
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INHALTSVERZEICHNISvi18.3 Ideale und
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2VorbemerkungDie Mengenlehre hat f
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4Kapitel 1Ordnungen und Wohlordnung
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1.1. ORDNUNGEN 6aus einer irreflexi
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1.2. DEFINITION DER ORDINALZAHLEN 8
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1.4. DIE ORDNUNG DER ORDINALZAHLEN
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12Kapitel 2Mengen und Klassen2.1 Di
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2.2. AUSWEGE AUS DEN ANTINOMIEN 14o
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2.3. DIE MENGENTHEORETISCHE SPRACHE
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2.5. ÜBERBLICK ÜBER VERSCHIEDENE
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20Kapitel 3Extensionalität und Aus
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3.2. EIGENSCHAFTEN DER INKLUSION 22
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24Kapitel 4Relationen und Funktione
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4.2. RELATIONEN 264.2 RelationenMit
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4.3. FUNKTIONEN 28In diesem Fall gi
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5.1. VEREINIGUNG, DURCHSCHNITT UND
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5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
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5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
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5.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ZF-AXIOME
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38Kapitel 6Induktion und RekursionW
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6.2. MINIMUMSPRINZIP 406.2 Minimums
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6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUN
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6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHL
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6.7. MINIMUMSPRINZIP, TRANSFINITE I
Seite 55 und 56: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 48Bevor wir
Seite 57 und 58: 7.2. MONOTONIE-GESETZE 50Beweis: Ze
Seite 59 und 60: 7.3. VERALLGEMEINERTE STETIGKEIT VO
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Seite 65 und 66: 8.1. MENGENINDUKTION 58V α sind ni
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Seite 71 und 72: 64Kapitel 9Die Rolle des Unendlichk
Seite 73 und 74: 9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle
Seite 75 und 76: 9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN RE
Seite 77 und 78: 70Teil IIIMengen auswählen
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Seite 89 und 90: 82Teil IVDie Größe der Mengen
Seite 91 und 92: 11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
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Seite 95 und 96: 11.3. SATZ VON CANTOR-SCHRÖDER-BER
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Seite 117 und 118: 110Kapitel 13Potenzen von Kardinalz
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Seite 121 und 122: 13.2. SATZ VON KÖNIG-JOURDAIN 1142
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Seite 147 und 148: 140Kapitel 16Innere Modelle16.1 Def
Seite 149 und 150: 16.2. RELATIVE KONSISTENZBEWEISE 14
Seite 151 und 152: 16.3. GÖDELISIERUNG 144Beispiele1.
Seite 153 und 154: 16.3. GÖDELISIERUNG 146wobei man a
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16.4. CHARAKTERISIERUNG INNERER ZF-
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152Kapitel 17Konstruktible Mengen17
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17.3. EINE DEFINIERBARE WOHLORDNUNG
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17.4. DAS KONDENSATIONSLEMMA 156Sat
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17.7. RELATIVE KONSTRUKTIBILITÄT 1
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162Kapitel 18Große KardinalzahlenW
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18.2. GROSSE UNENDLICHE ZAHLEN 164
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19.1. DAS SCHUBFACHPRINZIP 176Eine
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180Monographien mit besonderen Schw
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