Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

11.9. SATZ VON HESSENBERG 95Dazu müssen wir die Paare von Ordinalzahlen wohlordnen. Zunächst definierenwir auf On × On die lexikographische Ordnung:(α,β) < l (γ,δ) :↔ α < γ ∨ (α = γ ∧ β < δ).Dieses ist zwar eine lineare Ordnung, die die Minimumsbedingung erfüllt, abernicht die Mengenbedingung, denn in dieser Ordnung kommt die echte Klasse allerOrdinalzahlen {(0,ξ ) | ξ ∈ On} vor dem Paar (1,0)! Deshalb wandelt man dieseOrdnung nach GÖDEL ab, indem man nach dem Maximum der Paare vorsortiert:(α,β) < g (γ,δ) :↔ max(α,β) < max(γ,δ) ∨∨ (max(α,β) = max(γ,δ) ∧ (α,β) < l (γ,δ)).Damit erhalten wir wieder eine lineare Ordnung, die offensichtlich die Mengenbedingungerfüllt, aber auch weiterhin die Minimalitätsbedingung, und zwar findetman in einem nicht-leeren A ⊆ On × On das kleinste Element, indem man• zunächst das kleinste γ 0 ∈ {max(α,β) | (α,β) ∈ A} bestimmt,• sodann hierzu das kleinste α 0 ∈ {α | ∃β ((α,β) ∈ A ∧ max(α,β) = γ 0 )}• und schließlich das kleinste β 0 ∈ {β | (α 0 ,β) ∈ A ∧ max(α 0 ,β) = γ 0 }.(α 0 ,β 0 ) ist dann das kleinste Element von A bezüglich < g .Nach dem Kontraktionslemma 6.5 existiert also eine transitive Klasse A undein Ordnungsisomorphismus F : On × On ↔ A mit(α,β) < g (γ,δ) ↔ F(α,β) < F(γ,δ).Da On × On eine echte Klasse ist, so auch A und damit A = On. Damit habenwir also eine bijektive Abbildung aller Paare von Ordinalzahlen auf On erhalten,von der wir nun noch zeigen, daß sie für jede unendliche Kardinalzahl κ auch diePaare in κ × κ nach dem Ordnungstyp κ aufzählt:Zunächst bemerken wir, daß:(∗)α × α = {(ξ ,η) | (ξ ,η) < g (0,α)},also ist α × α ein < g -Segment. Aufgrund der rekursiven Definition von F undwegen (*) gilt:(∗∗) F(0,α) = F[α × α] ≥ α.